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Constantes de Stieltjes

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Constantes de Stieltjes
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En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :

.
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Thomas Joannes Stieltjes.

On démontre que chaque γn est donné par une limite :

est la constante d'Euler-Mascheroni.

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Propriétés

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En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

Et une comparaison série-intégrale montre que :

.

Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985[1], a montré que pour n > 4,

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

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Valeurs jusqu'à 15

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Voici les quelques premières valeurs[2] :

Davantage d’informations , ...
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Constantes de Stieltjes généralisées

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Plus généralement, on définit les constantes γn(a) comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :

Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846[3] :

(m et n entiers positifs avec m < n).

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Références

Voir aussi

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