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Constantes de Stieltjes
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En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :
.

On démontre que chaque γn est donné par une limite :
est la constante d'Euler-Mascheroni.
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Propriétés
Résumé
Contexte
En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :
Et une comparaison série-intégrale montre que :
.
Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.
Matsuoka, en 1985[1], a montré que pour n > 4,
On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.
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Valeurs jusqu'à 15
Résumé
Contexte
Voici les quelques premières valeurs[2] :
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Constantes de Stieltjes généralisées
Résumé
Contexte
Plus généralement, on définit les constantes γn(a) comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :
Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846[3] :
(m et n entiers positifs avec m < n).
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Références
Voir aussi
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