Corps pythagoricien

En algèbre, un corps pythagoricien est un corps (commutatif) dans lequel toute somme de deux carrés est un carré, autrement dit : un corps dont le nombre de Pythagore est égal à 1. Une extension pythagoricienne d'un corps F est une extension quadratique de la forme F(√1 + λ²) pour un certain élément λ de F. Un corps est donc pythagoricien s'il est fermé par extensions pythagoriciennes. La clôture pythagoricienne d'un corps F, notée F^py, est le « plus petit » corps pythagoricien contenant F^[1]. Le « corps de Hilbert » est le plus petit corps pythagoricien ordonné^[2].

Conditions équivalentes

Pour tout corps F, les conditions suivantes sont équivalentes :

• F est pythagoricien ;
• son u-invariant général (en) est égal à 0 ou 1^[3] ;
• si ab n'est pas un carré dans F, il existe un ordre sur F (total et compatible) pour lequel a et b sont de signes contraires^[4] ;
• F est l'intersection de ses clôtures euclidiennes^[5].

En particulier, les corps quadratiquement clos et les corps de caractéristique 2 sont pythagoriciens.

Groupe de Witt

Les corps quadratiquement clos sont les corps dont le groupe de Witt est d'ordre 2^[1],[6].

Les corps pythagoriciens formellement réels sont les corps dont le groupe de Witt est sans torsion (il suffit pour cela qu'il soit sans 2-torsion)^[1],[6]. Parmi eux, les corps euclidiens (c'est-à-dire les corps pythagoriciens possédant un unique ordre, comme les corps réels clos) sont ceux dont le groupe de Witt est cyclique infini^[6].

Pour tout corps F, il existe une suite exacte qui met en jeu les anneaux de Witt : ${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Tor} IW(F)\rightarrow W(F)\rightarrow W(F^{\mathrm {py} })}$

où IW(F) est l'idéal fondamental de l'anneau de Witt de F^[7] et TorIW(F) est son sous-groupe de torsion (c'est le nilradical de W(F))^[8].

Modèles de la géométrie

On peut utiliser les corps pythagoriciens pour construire des modèles de certains axiomes de Hilbert de la géométrie^[9]. Si F est pythagoricien alors Fⁿ satisfait une grande partie des axiomes de Hilbert — comme les axiomes d'incidence et de congruence et l'axiome des parallèles — mais en général pas tous, à moins d'hypothèses supplémentaires. Par exemple si F est de plus ordonné, les axiomes d'ordre sont satisfaits et si F est complet pour cet ordre, l'axiome de complétude est aussi satisfait.

On peut utiliser la clôture pythagoricienne d'un corps ordonné non archimédien — comme celui, ℚ(t), des fractions rationnelles à une indéterminée sur le corps ℚ des rationnels — pour construire des géométries non archimédiennes, satisfaisant une grande partie des axiomes de Hilbert mais pas celui de complétude^[10]. Max Dehn a procédé ainsi pour construire ses deux plans (en), exemples d'une géométrie semi-euclidienne et d'une géométrie non legendrienne (en), dans lesquelles tout point extérieur à une droite passe par une infinité de parallèles mais la somme des angles d'un triangle est égale à π pour la première, et strictement supérieure à π pour la seconde^[11].

Théorème de Diller-Dress

Ce théorème^[12] établit que si E/F est une extension finie et si le corps E est pythagoricien, alors F aussi^[13]. Un corollaire est qu'aucun corps de nombres n'est pythagoricien, puisque ℚ ne l'est pas^[14].

Corps superpythagoriciens

Un corps superpythagoricien est un corps formellement réel F tel que tout sous-groupe d'indice 2 de F* qui ne contient pas −1 définit un ordre sur F (c'est-à-dire est stable par addition). Tout corps superpythagoricien est pythagoricien^[13].

On a pour ces corps un analogue du théorème de Diller-Dress : si E/F est une extension finie et si E est superpythagoricien, alors F aussi^[15]. Inversement, si F est superpythagoricien alors tout corps formellement réel intermédiaire entre F et sa clôture quadratique est superpythagoricien^[16].