D-module

En mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles.

D-modules sur des variétés algébriques

La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels D_X est défini comme la O_X-algèbre engendrée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations. Un D_X-module (à gauche) M est un O_X-module avec une action de groupe (à gauche) de D_X. Se donner une telle action est équivalent à avoir une application K-linéaire

${\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow End_{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}$

satisfaisant :

${\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\nabla _{v}(m)}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\nabla _{v}(m)}$ (c'est la règle de Leibniz)

${\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}$

Où f est une application régulière sur X, v et w sont des champs de vecteurs, m une section locale de M et où [−, −] désigne le commutateur.

Références

• (en) S. C. Coutinho, A Primer of Algebraic D-modules, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts » (n^o 33), 1995, 220 p. (ISBN 978-0-521-55119-9, lire en ligne)
• (en) Armand Borel, Algebraic D-Modules, Boston, MA, Academic Press, coll. « Perspectives in Mathematics » (n^o 2), 1987, 355 p. (ISBN 978-0-12-117740-9)

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