Domaine lipschitzien

En mathématiques, un domaine lipschitzien (ou domaine « à frontière lipschitzienne ») est un ouvert d'un espace euclidien dont la frontière est « suffisamment régulière », au sens (fort) où cet ouvert est localement l'hypographe strict d'une fonction lipschitzienne. Le terme vient du nom du mathématicien allemand Rudolf Lipschitz.

Définition

Soit Ω un ouvert de Rⁿ dont la frontière ∂Ω est bornée. Alors Ω est appelé un domaine lipschitzien ou « à frontière lipschitzienne »^[1] (en un sens plus faible que celui du résumé introductif^[2],[3]) si, pour tout point p ∈ ∂Ω, il existe un rayon r > 0 et une bijection h_p : B_r(p) → Q tels que

• h_p et h_p⁻¹ soient toutes deux lipschitziennes ;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀ ;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊ ;

où B_r(p) désigne la boule ouverte de centre p et de rayon r , Q la boule unité B₁(0), et ${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\}~;}$ ${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

Applications des domaines lipschitziens

Beaucoup de théorèmes de plongement de Sobolev demandent que le domaine d'étude soit un domaine lipschitzien (au sens fort). Par conséquent, beaucoup d'équations aux dérivées partielles et de problèmes variationnels sont définis sur des domaines lipschitziens.