Exponentiation ensembliste

En théorie des ensembles, l'exponentiation ensembliste est l'opération qui, à deux ensembles E et F, associe l'ensemble des applications de E dans F. Cet ensemble est souvent noté^[1] F^E. On peut aussi le voir comme l'ensemble des familles indexées par E d'éléments de F :

${\displaystyle F^{E}=\prod _{e\in E}F.}$

Exemples

• ℝ^ℕ désigne l'ensemble des suites réelles.
• Pour tout ensemble E non vide, il n'y a aucune application de E dans l'ensemble vide (l'existence d'une image dans ∅ pour tout élément de E ne pourra jamais être vérifiée). Donc ∅^E = ∅ si E ≠ ∅.
• Pour tout ensemble F, il y a une seule application de l'ensemble vide dans F : l'application vide (en) (de graphe vide). L'ensemble F^∅ est donc un singleton.

Cardinal

Quand E et F sont des ensembles finis, si l'on note |E| le cardinal d'un ensemble E, on démontre (voir l'article « Arrangement avec répétition ») :

Quand E ou F est infini, on peut prendre cette identité comme une définition de la fonction puissance sur les nombres cardinaux. On montre en effet que le cardinal de F^E ne dépend que des cardinaux respectifs de E et F.

Histoire

Georg Cantor a introduit cette construction justement à cette fin^[2]. Ce qu'il appelait « recouvrement^[3] » (Belegung en allemand) d'un ensemble N par un ensemble M est « une loi par laquelle à chaque élément n de N est lié un élément déterminé de M, où un et le même élément de M peut être utilisé de façon répétée^[2] », c'est-à-dire ce que nous appelons aujourd'hui une application de N dans M. Il notait f(N) une telle application f, puis énonçait : « La totalité de tous les recouvrements distincts de N par M constitue un ensemble déterminé d'éléments f(N) ; nous l'appelons « l'ensemble de recouvrement de N par M » et le désignons par (N|M). Ainsi (N|M) = {f(N)}^[2]. »