Exponentielle complexe

L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.

Pour tout nombre complexe z, la série entière

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}{z^{n} \over n!}}$

est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée e^z ou exp(z).

Propriétés

On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe^[1].

Le module et l'argument de e^{x + iy} (pour x et y réels) sont respectivement e^x et y mod 2π.

Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :

${\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} ,\ \exp(\mathrm {i} y)=\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)}$

dont on peut déduire :

${\displaystyle \forall z=x+\mathrm {i} y\in \mathbb {C} ,\ \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\exp(\mathrm {i} y)=\exp(x)[\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)]}$