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Fermeture transitive

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La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des relations binaires sur un ensemble, autrement dit sur des graphes orientés.

Relation binaire

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La clôture transitive, ou fermeture transitive Rtrans d'une relation binaire[1],[2],[3] R sur un ensemble X est la relation

ce qui peut également se traduire ainsi :

Si on nomme la relation "il existe un chemin de taille n entre a et b" On définit

C'est la plus petite relation transitive sur X contenant R.

On définit de même la clôture réflexive transitive[1] Rréfl-trans de R comme la relation

(Où est la diagonale de X)

ce qui peut également se traduire ainsi : C'est donc la clôture réflexive de Rtrans, mais aussi la clôture transitive de Rréfl. C'est la plus petite relation réflexive et transitive sur X contenant R.

Par exemple sur l'ensemble Z des entiers relatifs, la clôture transitive de la relation strictement acyclique R définie par x R yy = x + 1 est l'ordre strict usuel <, et la clôture réflexive transitive de R est l'ordre usuel ≤.

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Théorie des graphes

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La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.

Un graphe orienté G = (V, A) est une relation binaire A sur l'ensemble V de ses sommets. Sa clôture transitive, ou fermeture transitive[3] est le graphe C(G) = (V, Atrans). Les arcs de C(G) sont donc les couples de sommets entre lesquels il existe un chemin dans G. Ceci s'exprime également ainsi :

La fermeture transitive peut se calculer au moyen de matrice binaire. On privilégie souvent la notation B = {1, 0}. Quand on programme des algorithmes utilisant ces matrices, la notation {VRAI, FAUX} peut coexister avec la notation {1, 0} car de nombreux langages acceptent ce polymorphisme.

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Références

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