Fonction polygamma

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée^[1] ${\displaystyle \psi _{m}(z)}$ ou ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$ et définie comme la m+1^e dérivée du logarithme de la fonction gamma ${\displaystyle \Gamma (z)}$ :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)\qquad }$.

Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4.

Ce qui équivaut à la dérivée m^e de la dérivée logarithmique de la fonction gamma ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$ :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=\psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$

• ${\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$ est la fonction digamma ${\displaystyle \psi (z)}$.

La dérivée de la fonction gamma est donc

${\displaystyle \Gamma '(z)=\psi (z)\Gamma (z)}$.

• ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\psi '(z)\,}$. On appelle parfois la fonction ${\displaystyle \psi _{1}}$ (ou ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$) la fonction trigamma.

La dérivée seconde de la fonction gamma est donc

${\displaystyle \Gamma ''(z)=(\psi _{0}^{2}(z)+\psi _{1}(z))\Gamma (z)}$.

Définition par une intégrale

La fonction polygamma peut être représentée par :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}\mathrm {e} ^{-zt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}~\mathrm {d} t.}$

Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :

${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$.	${\displaystyle \psi _{0}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{1}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{2}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{3}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{4}(z)}$.

Relation de récurrence

Elle vérifie la relation de récurrence

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.\,}$

Théorème de multiplication

Le théorème de multiplication (en) donne

${\displaystyle k^{m}\psi _{m-1}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{m-1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),}$

valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :

${\displaystyle k(\psi (kz)-\ln(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Représentation par série

La fonction polygamma a pour représentation en série :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}},}$

qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).\,}$

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

Série de Taylor

La série de Taylor au point z = 1 est

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},\,}$

qui converge pour |z| < 1. Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann.