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Fonction polygamma
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En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée[1] ou et définie comme la m+1e dérivée du logarithme de la fonction gamma :

Ce qui équivaut à la dérivée me de la dérivée logarithmique de la fonction gamma :
- est la fonction digamma .
- La dérivée de la fonction gamma est donc
- .
- . On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma.
- La dérivée seconde de la fonction gamma est donc
- .
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Définition par une intégrale
Résumé
Contexte
La fonction polygamma peut être représentée par :
Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.
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Représentation dans le plan complexe
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Relation de récurrence
Elle vérifie la relation de récurrence
Théorème de multiplication
Résumé
Contexte
Le théorème de multiplication (en) donne
valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :
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Représentation par série
Résumé
Contexte
La fonction polygamma a pour représentation en série :
qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par
On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).
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Série de Taylor
La série de Taylor au point z = 1 est
qui converge pour |z| < 1. Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann.
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Notes et références
Références
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