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Fonction polygamma

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Fonction polygamma
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En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée[1] ou et définie comme la m+1e dérivée du logarithme de la fonction gamma  :

.
Thumb
Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4.

Ce qui équivaut à la dérivée me de la dérivée logarithmique de la fonction gamma  :

  • est la fonction digamma .
La dérivée de la fonction gamma est donc
.
  • . On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma.
La dérivée seconde de la fonction gamma est donc
.
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Définition par une intégrale

Résumé
Contexte

La fonction polygamma peut être représentée par :

Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

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Représentation dans le plan complexe

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
Thumb
Thumb
Thumb
Thumb
Thumb
Thumb
. . . . . .
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Relation de récurrence

Elle vérifie la relation de récurrence

Théorème de multiplication

Résumé
Contexte

Le théorème de multiplication (en) donne

valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :

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Représentation par série

Résumé
Contexte

La fonction polygamma a pour représentation en série :

qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

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Série de Taylor

La série de Taylor au point z = 1 est

qui converge pour |z| < 1. Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann.

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Notes et références

Références

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