Formule de Héron

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, portant le nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés :

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\quad {\text{avec}}\quad p={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Notations usuelles dans un triangle.

La formule était déjà connue d'Archimède^[1].

Démonstrations

Héron d'Alexandrie énonce et démontre son théorème dans son traité Les Métriques. Sa démonstration s'appuie sur les propriétés du cercle inscrit dans un triangle et sur l'exploitation des rapports de longueurs dans des triangles semblables^[2].

Les propriétés trigonométriques permettent une démonstration plus courte de cette égalité.

Ainsi, la formule de Héron peut se déduire de manière algébrique de la loi des cosinus ^[3].

Démonstration à l'aide de la loi des cosinus

La loi des cosinus s'écrit ${\displaystyle 2ab\cos \gamma =a^{2}+b^{2}-c^{2},}$

jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents : ${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ab}{2}}\sin \gamma \\&={\frac {2ab}{4}}{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2ab(1+\cos \gamma )2ab(1-\cos \gamma )}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}.\end{aligned}}}$

Puis, en notant, p = a + b + c/2 le demi-périmètre, on conclut : ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2p(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)}}={\sqrt {p(p-c)(p-b)(p-a)}}.}$

Il existe beaucoup d'autres démonstrations : voir notamment l'article « Loi des cotangentes ».

Il existe également un moyen simple de retrouver la formule de Héron par des considérations sur la forme que doit prendre le polynôme S² en exploitant les propriétés des triangles plats, les propriétés d'homogénéité et de symétrie^[4],[5].

Recherche par analyse dimensionnelle

L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : S(a,b,c), et ces trois variables ont exactement la même importance (il y a symétrie).

Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en (a,b,c), ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène.

De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est-à-dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme.

Le polynôme S² est alors de la forme

${\displaystyle S^{2}(a,b,c)=k\times (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).}$

Or comme S² est symétrique homogène de degré 4, k est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme k = C(a+b+c) avec C une constante réelle à déterminer.

Pour trouver C, on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors S = a²/2, a = b et ${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}}$, ce qui donne

${\displaystyle {\frac {a^{4}}{4}}=C\left(2a+{\sqrt {2}}a\right)\left(2a-{\sqrt {2}}a\right)\left({\sqrt {2}}a\right)^{2}=C(4a^{2}-2a^{2})(2a^{2})}$

donc C = 1/16.

On a donc ${\displaystyle S^{2}(a,b,c)={\frac {1}{16}}(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$.

On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant p par ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$.

Autres écritures de la formule

• En remplaçant ${\displaystyle p}$ par ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$ on a :

${\displaystyle 16\ S^{2}=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$, qui peut s'écrire  : ${\displaystyle 16\,S^{2}=((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}$.On retrouve sous cette forme que le triangle est aplati si et seulement si ${\displaystyle c=a+b}$ ou ${\displaystyle c=|a-b|}$.

• En développant et regroupant, on obtient :

${\displaystyle 16\,S^{2}=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}$, ce qui redonne la formule de l'aire dans le cas rectangle.

• En développant complètement, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}16\,S^{2}&=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).\end{aligned}}}$ ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}},}$expression symétrique en ${\displaystyle a,b,c}$.

Sous forme d'un déterminant

On a : ${\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}$ (déterminant de Cayley-Menger).

Pour une mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de telle sorte que ${\displaystyle a>b>c}$, et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, William Kahan propose une formule plus stable^[6] :

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+(b+c)\right)\,\left(c-(a-b)\right)\,\left(c+(a-b)\right)\,\left(a+(b-c)\right)}}.}$

Application à l'inégalité isopérimétrique pour le triangle

D'après l'inégalité arithmético-géométrique, ${\displaystyle {\frac {p}{3}}={\frac {(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}}\geqslant {\sqrt[{3}]{(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

De la formule de Héron, on déduit ${\displaystyle S^{2}\leqslant p.{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {p^{4}}{27}}}$, d'où l'inégalité isopérimétrique : ${\displaystyle S\leqslant {\frac {p^{2}}{3{\sqrt {3}}}}}$.

Il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle p-a=p-b=p-c}$, autrement dit si et seulement si le triangle est équilatéral.

Généralisations

La formule de Brahmagupta permet de déterminer l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle en ne connaissant que la longueur de ses côtés.

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : Formule de Bretschneider et Formule de Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger ^[7].