Quadrilatère inscriptible

En géométrie, un quadrilatère inscriptible (ou cyclique ^[1]) est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le quadrilatère est dit inscrit dans le cercle, et le cercle, circonscrit au quadrilatère.

Quadrilatères inscriptibles

Caractérisations

Par les médiatrices

Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les quatre médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du cercle circonscrit et les médiatrices des diagonales passent par ce point.

Par les angles

${\displaystyle {\widehat {A}}+{\widehat {C}}=\pi }$, ${\displaystyle {\widehat {B}}+{\widehat {D}}=\pi }$

${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {C}},{\widehat {B}}={\widehat {D}}}$

Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les angles opposés sont supplémentaires^[2] (leur somme est π radians, soit 180°). Ou de façon équivalente, si et seulement si chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé. Cette propriété est en fait une variante du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Un quadrilatère croisé est inscriptible si et seulement si ses angles opposés ont même mesure^[3].

Existence

Théorème de Sturm ^[4],[5]: s'il existe un quadrilatère de longueurs de côtés successifs ${\displaystyle a,b,c,d}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle a\leqslant b+c+d,b\leqslant c+d+a,c\leqslant d+a+b,d\leqslant a+b+c}$, alors il existe un quadrilatère convexe inscriptible ayant ${\displaystyle a,b,c,d}$ pour longueurs de côtés.

Cela signifie que les sommets de tout quadrilatère articulé peuvent être inscrits dans un cercle.

Aire

Quadrilatère inscriptible de côtés a, b, c et d.

L'aire S d'un quadrilatère convexe inscriptible en fonction des longueurs a, b, c et d de ses côtés successifs est donnée par la formule de Brahmagupta :

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

où p = a + b + c + d/2 est le demi-périmètre.

D'après la formule de Bretschneider, un quadrilatère convexe ayant a, b, c d pour suite de longueurs des côtés possède une aire maximale lorsqu'il est inscriptible.

L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible est aussi donnée (voir infra) par :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin \gamma }$

où γ est l'angle entre les côtés de longueurs a et d.

Diagonales

Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs e et f des deux diagonales d'un quadrilatère convexe inscriptible est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés ac et bd :

${\displaystyle ef=ac+bd}$.

Quadrilatère inscriptible avec ses deux diagonales de longueurs p et q, et ses triangles deux à deux semblables

Les deux diagonales d'un quadrilatère convexe le coupent en quatre triangles ; lorsque le quadrilatère est inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées chacune de deux triangles semblables.

Pour un quadrilatère convexe inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d = DA, et de diagonales e = AC et f = BD, on a (second théorème de Ptolémée):

${\displaystyle {\frac {e}{f}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}},\quad e^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\quad {\text{et}}\quad f^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.}$

Si le point d'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs ${\displaystyle e_{1}}$ et ${\displaystyle e_{2}}$, et divise l'autre diagonale en segments de longueurs ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$, alors ${\displaystyle e_{1}e_{2}=f_{1}f_{2}}$. (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des cordes d'un cercle.)

Cas particuliers

Tout rectangle est un trapèze isocèle, c'est-à-dire un trapèze circonscriptible. Un cerf-volant est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits (cerf-volant droit).

Autres propriétés

• Durant le XIV^e siècle, le mathématicien Parameshvara Nambudiri (en) détermina le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible. Notons les longueurs des côtés successifs a, b, c, d, le demi-périmètre p et l'aire S ; le rayon R s'obtient par la formule^[6] :

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}={\frac {\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4S}}}$.

• Il n'existe pas de quadrilatère inscriptible dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique^[7].

• Les fonctions trigonométriques de l'angle γ entre les côtés de longueurs a et d sont données par^[8] :

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{ad+bc}}}$ ;

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {2S}{ad+bc}}}$ (S étant l'aire) ;

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-d)}{(p-b)(p-c)}}}}$.

• Théorème de Jules Mathot (1901) : Dans un quadrilatère convexe inscriptible, les quatre droites passant par le milieu d'un côté et perpendiculaires au côté opposé sont concourantes. Le point de concours est le symétrique H du centre O du cercle circonscrit par rapport au centre de gravité des sommets (ou centre géométrique) G ^{[9]p. 131,[10],[11]}.

Démonstration

Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soient O le centre du cercle circonscrit et G le centre de gravité des sommets. On sait que G est le milieu de la bimédiane [IK] ; si on note H le symétrique de O par rapport à G, le quadrilatère OIHG est un parallélogramme, ses diagonales se coupant en leur milieu. Or (OK) est perpendiculaire à (DC) donc également (IH) : la droite passant par I et perpendiculaire au côté opposé passe dont par H, et de même pour les trois autres.

Ces quatre droites sont appelées "maltitudes" en anglais (pour "midpoint-altitude"), ce que l'on peut traduire par "hauteurs médianes".

Certains auteurs considèrent la droite (OGH) comme la "droite d'Euler" du quadrilatère inscriptible ^[1].

• Théorème japonais

Théorème japonais^[12] — On considère un quadrilatère ABCD inscriptible. On note I_A le centre du cercle inscrit du triangle BCD, et r_A son rayon ; on construit de façon similaire I_B et r_B pour ACD, I_C et r_C pour ABD, I_D et r_D pour ABC. Alors :

• I_AI_BI_CI_D forme un rectangle
• r_A + r_C = r_B + r_D

Quadrilatères de Brahmagupta

Exemple de quadrilatère de Brahmagupta ; l'aire est égale à 966.

Un quadrilatère de Brahmagupta^[13],[14]est un quadrilatère convexe inscriptible dont les longueurs des côtés, les longueurs des diagonales et l'aire sont des nombres entiers. On obtient tous les quadrilatères de Brahmagupta de longueurs de côtés a, b, c, d, de longueurs de diagonales e, f, d'aire S et de rayon circonscrit R, en supprimant les dénominateurs des expressions suivantes impliquant des paramètres rationnels ${\displaystyle t=\tan {\frac {\widehat {CAD}}{2}}=\tan {\frac {\widehat {CBD}}{2}},u=\tan {\frac {A}{2}},v=\tan {\frac {C}{2}}}$ :

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Propriétés des quadrilatères inscriptibles qui sont également orthodiagonaux

Dans un quadrilatère orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), les "hauteurs médianes" définies ci-dessus se coupent deux à deux sur des diagonales. Par exemple, les "hauteurs médianes" issues des milieux de [AD] et [AB] se coupent sur la diagonale issue de A.

Démonstration

Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soit M le milieu de la diagonale issue de A. D'après le théorème des milieux, le triangle IML a ses côtés parallèles à (BC), (CD), et (BD) . Donc les "hauteurs médianes" issues de I et L en sont deux hauteurs. Or la troisième hauteur, issue de M, n'est autre que la diagonale (AC) ( (IL) étant parallèle à (BD)). Les deux "hauteurs médianes" se coupent donc sur cette diagonale.

Par conséquent, d'après la propriété ci-dessus, dans un quadrilatère à la fois inscriptible et orthodiagonal, les quatre "hauteurs médianes" concourent au point d’intersection H des diagonales, appelé l'anticentre du quadrilatère inscriptible orthodiagonal ^[1].

On retrouve ainsi le théorème de Brahmagupta, affirmant que dans un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales coupe l'autre côté en son milieu^{[9]p. 137}.

Dans un quadrilatère inscriptible orthodiagonal :

• la distance du centre O du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé^{[9]p. 138},

• supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs e₁ et e₂ et divise l'autre diagonale en segments de longueurs f₁ et f₂. Alors^[15]

${\displaystyle e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}}$

où ${\displaystyle R}$ est le rayon du cercle circonscrit. Cela est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, la moyenne de e₁², e₂², f₁² et f₂² est égale à R². En outre, les équations a² + c² = b² + d² = 4R² impliquent que la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Le quotient du périmètre d'un cercle par celui d'un carré inscrit est égal à π/2√2 ≈ 1,110 720 (suite A093954 de l'OEIS).