Formule de Perron

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire (${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)}$) d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.

La formule de Perron

Soient (a(n))_n∈ℕ* une fonction arithmétique et

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n),}$

où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier.

On suppose que la série de Dirichlet classique

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

admet une abscisse de convergence simple finie σ_c.

Alors, la formule de Perron est^[1] : pour tous réels c > max(0, σ_c) et x > 0,

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {x^{s}}{s}}~\mathrm {d} s,}$

où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.

Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale

Pour une série de Dirichlet générale, de la forme

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}s},}$

on a de même^[2],[3],[4], pour tous nombres réels c > max(0, σ_c) et y ∊ ]λ_n, λ_{n + 1}[,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a(k)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {\mathrm {e} ^{sy}}{s}}~\mathrm {d} s.}$

Formules effectives

Première formule de Perron effective

Soit ${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$ pour ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\displaystyle \sigma _{a}}$.

Alors on a^[1], si ${\displaystyle x\geq 1,T\geq 1,c>\max(0,\sigma _{a}),}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u){\frac {x^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u+O\left(x^{c}\sum _{n\geq 1}{\frac {|a_{n}|}{n^{c}(1+T|\ln(x/n)|)}}\right).}$

Seconde formule de Perron effective

Soit ${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$ pour ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\displaystyle \sigma _{a}}$, et où ${\displaystyle |a_{n}|\leq \psi (n),}$ pour une fonction ${\displaystyle \psi (n)}$ croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel ${\displaystyle \alpha \geq 0}$,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a(n)|}{n^{\sigma }}}=O\left({\frac {1}{(\sigma -\sigma _{a})^{\alpha }}}\right)}$ quand ${\displaystyle \sigma _{a}<\sigma \leq \sigma _{a}+1.}$

Alors on a^[1], si ${\displaystyle x\geq 2,T\geq 2,\sigma \leq \sigma _{a},c:=\sigma _{a}-\sigma +1/\ln x,}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {a(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u+s){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{\sigma _{a}-\sigma }{\frac {(\ln x)^{\alpha }}{T}}+{\frac {\psi (2x)}{x^{\sigma }}}\left(1+x{\frac {\ln T}{T}}\right)\right).}$

Preuves

Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus^[1],[5].

Soit ${\displaystyle h(x)}$ la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x > 1 (et 1/2 pour x = 1). Alors, pour tous c, T, T' > 0 :

${\displaystyle \forall x\neq 1\quad \left|h(x)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T'}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {x^{u}}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {x^{c}}{2\pi |\ln x|}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{T'}}\right),\qquad \left|h(1)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {1}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {c}{T+c}}.}$

Il reste ensuite à multiplier par a_n/n^s et sommer sur n.

Une preuve^[1] de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σ_a de la série. Si on a seulement c > σ_c, alors c + 1 > σ_a et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.