Heptadécagone

Un heptadécagone est un polygone à 17 sommets, donc 17 côtés et 119 diagonales.

La somme des angles internes d'un heptadécagone non croisé vaut 15π radians, soit 2 700 degrés.

Dans l'heptadécagone régulier convexe, chaque angle interne vaut donc 15π/17 rad, soit environ 158,82°.

Heptadécagones réguliers

Un heptadécagone régulier est un heptadécagone dont les 17 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (les heptadécagrammes notés {17/k} pour k de 2 à 8) et un convexe (noté {17}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptadécagone régulier ».

L'heptadécagone régulier et ses angles remarquables.

• Les sept heptadécagones réguliers étoilés
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  {17/2}
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  {17/3}
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  {17/4}
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  {17/5}
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  {17/6}
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  {17/7}
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  {17/8}

Construction à la règle et au compas

Étapes (64) de construction à la règle et au compas de l'heptadécagone par Gauss.

L'annonce de la construction à la règle et au compas de l'heptadécagone régulier a été faite par Carl Friedrich Gauss en 1796, et seulement dans un court article, Neue Entdeckungen, paru au numéro 66, du 1^er juin 1796, de l'Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung de Iéna. Il fallut attendre cinq ans encore, avec la publication de ses Disquisitiones arithmeticae, pour découvrir la substance de cette construction (à l'article « Theorie von grösserem Umfange », en fin d'ouvrage).

Le sinus et le cosinus de l'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{17}}}$ sont respectivement égaux à :

• ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {2\left(15+{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {2\left(34+6{\sqrt {17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}-{\sqrt {34(17-{\sqrt {17}})}}+8{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}}\right)}}\right)}}}}}$ ;
• ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1-{\sqrt {17}}}{16}}+{\frac {\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}{8{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}+4{\sqrt {2}}{\sqrt {17+{\sqrt {17}}}}}}}$.

Démonstration

Par définition, le problème de la construction de l'heptadécagone régulier revient à chercher les racines complexes du polynôme

${\displaystyle {\frac {x^{17}-1}{x-1}}=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.}$

On note α = 2π/17, puis on pose ω₁₇ = exp(iα), et ω_k = ωk
17, pour k entre 1 et 16, qui sont donc les racines recherchées. On va construire des sommes de ces racines à partir de périodes qui forment les racines de polynômes du second degré^[1]. On considère le tableau suivant, qui donne la valeur de, pour m entre 0 et 15, de 3^m modulo 17 :

${\displaystyle m}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
${\displaystyle \vartheta (m)\equiv 3^{m}\mod 17}$	1	3	9	10	13	5	15	11	16	14	8	7	4	12	2	6

On utilise la congruence modulo 3 car ce nombre est une racine primitive de 17.

On pose donc les sommes :

${\displaystyle X_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {pair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{9}+\omega _{13}+\omega _{15}+\omega _{16}+\omega _{8}+\omega _{4}+\omega _{2}}$

${\displaystyle X_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {impair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{10}+\omega _{5}+\omega _{11}+\omega _{14}+\omega _{7}+\omega _{12}+\omega _{6}}$

${\displaystyle Y_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 0\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{13}+\omega _{16}+\omega _{4}}$

${\displaystyle Y_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 2\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{9}+\omega _{15}+\omega _{8}+\omega _{2}}$

${\displaystyle Y_{3}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 1\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{5}+\omega _{14}+\omega _{12}}$

${\displaystyle Y_{4}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 3\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{10}+\omega _{11}+\omega _{7}+\omega _{6}}$

Par les propriétés de symétrie, on peut observer que :

${\displaystyle X_{1}=2(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha ),\ X_{2}=2(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )}$

${\displaystyle Y_{1}=2(\cos \alpha +\cos 4\alpha ),\ Y_{2}=2(\cos 8\alpha +\cos 2\alpha )}$

${\displaystyle Y_{3}=2(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha ),\ Y_{4}=2(\cos 7\alpha +\cos 6\alpha )}$

On peut remarquer, par les identités trigonométriques usuelles, que :

${\displaystyle X_{1}+X_{2}=\sum _{k=1}^{16}\omega _{k}=\sum _{k=1}^{8}2\cos k\alpha =-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}X_{1}X_{2}&=&4(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )\\&=&4(\cos \alpha \cos 3\alpha +\cos \alpha \cos 7\alpha +\cos \alpha \cos 5\alpha +\cos \alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 8\alpha \cos 3\alpha +\cos 8\alpha \cos 7\alpha +\cos 8\alpha \cos 5\alpha +\cos 8\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 4\alpha \cos 3\alpha +\cos 4\alpha \cos 7\alpha +\cos 4\alpha \cos 5\alpha +\cos 4\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \cos 7\alpha +\cos 2\alpha \cos 5\alpha +\cos 2\alpha \cos 6\alpha )\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 11\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 15\alpha +\cos \alpha )+(\cos 13\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 14\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 11\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 9\alpha +\cos \alpha )+(\cos 10\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 9\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 2\alpha +\cos \alpha )+(\cos 4\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 3\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos \alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&8\sum _{k=1}^{8}\cos k\alpha \\&=&-4.\end{array}}}$

Ainsi, X₁ et X₂ sont les deux racines de X² + X – 4 = 0, et une étude rapide de signe montre que X₁ est la racine positive, et X₁ > X₂.

De même, on peut montrer que Y₁ et Y₂ sont les deux racines de Y² + X₁Y – 1 = 0, avec Y₁ > Y₂, et que Y₃ et Y₄ sont les deux racines de Y² + X₂Y – 1 = 0, avec Y₃ > Y₄.

Enfin, on peut vérifier que z₁ = 2 cos α = ω1
17 + ω16
17 et z₂ = 2 cos 4α = ω4
17 + ω13
17 sont les deux racines de Z² – Y₁Z + Y₃ = 0, avec z₁ > z₂.

Il suffit dès lors de résoudre les équations du second degré et de ne retenir que les racines adéquates pour obtenir le résultat voulu.

On peut déduire des calculs précédents une construction de l'heptadécagone régulier à partir d'un cercle donné de centre O^[2]:

• poser A et B sur le cercle tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})={\frac {\pi }{2}}}$
• construire I tel que OI = 1/4OB
• construire E sur [OA] tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {IO}},{\overrightarrow {IE}})={\frac {1}{4}}({\overrightarrow {IO}},{\overrightarrow {IA}})}$
• construire F sur (OA) tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {IE}},{\overrightarrow {IF}})=-{\frac {\pi }{4}}}$
• construire le cercle de diamètre AF, il coupe [OB] en K
• le cercle de centre E et de rayon EK coupe (OA) en N₃ et N₅, avec N₃ sur [OA]
• on construit P₃ et P₅, les projetés de N₃ et N₅ sur le cercle d'origine. Ces deux points sont deux sommets de l'heptadécagone, car ${\displaystyle ON_{3}=\cos(6\pi /17)}$ et ${\displaystyle ON_{5}=\cos(10\pi /17)}$