Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ par une application ${\displaystyle f\,\colon X\to Y}$ est le sous-ensemble de ${\displaystyle Y}$ formé des éléments qui ont, par ${\displaystyle f}$, au moins un antécédent appartenant à ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.}$

Schéma de l'image directe ${\displaystyle f(A)}$ du sous-ensemble A d'une fonction injective mais non surjective (donc non bijective).

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle X}$ :${\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}$
• On se gardera bien de confondre l'image directe par ${\displaystyle f}$ d'une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, avec l'image par ${\displaystyle f}$ d'un élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, ou avec l'image de l'application ${\displaystyle f}$^[1].
• Considérons l'application ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ dans ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ définie par ${\displaystyle f(1)=a}$, ${\displaystyle f(2)=c}$ et ${\displaystyle f(3)=d}$. L'image directe de ${\displaystyle \{2,3\}}$ par ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle f\left(\{2,3\}\right)=\{c,d\}}$ tandis que l'image de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \{a,c,d\}}$.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).}$Plus généralement, pour toute famille ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}$
• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective^[2].
  On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})}$.

Plus généralement, pour toute famille non vide ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$.

• Toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ contient l'image directe de son image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ; plus précisément^[2] :${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).}$En particulier, si ${\displaystyle f}$ est surjective alors ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est surjective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ on a ${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B}$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ est contenue dans l'image réciproque de son image directe :${\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective^[2]. On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)}$.
• Si l'on considère de plus une application ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$, alors l'image directe d'une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ par la composée ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ est :

${\displaystyle (g\circ f)\left(A\right)=g\left(f(A)\right)}$