Lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz^[1].

Énoncé

Lemme KKM : Si un simplexe Δ_m est réunion des ensembles fermés ${\displaystyle C_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I=\{1,\dots ,m\}}$ et que pour tout ${\displaystyle I_{k}\subset I}$, la face de Δ_m engendrée par ${\displaystyle e_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I_{k}}$ est contenue dans la réunion des ${\displaystyle C_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I_{k},}$ alors les ${\displaystyle C_{i}}$ ont une intersection non vide.

Donnons une illustration dans le cas m = 3. Le simplexe Δ₃ est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Les hypothèses sont alors que le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}$, que le sommet i appartient à ${\displaystyle C_{i}}$, que le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$, que le côté 23 est contenu dans la réunion de ${\displaystyle C_{2}}$ et ${\displaystyle C_{3}}$, et que le côté 31 est contenu dans la réunion de ${\displaystyle C_{3}}$ et ${\displaystyle C_{1}}$. Le lemme affirme que, dans ces conditions, les trois ensembles ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}$ ont au moins un point en commun.

Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).