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Lemme de classe monotone

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Le lemme de classe monotone, dû à Wacław Sierpiński[1] et popularisé par Eugene Dynkin[2], permet de démontrer, de manière économique, l'égalité entre deux lois de probabilité : de même que deux applications linéaires qui coïncident sur une base coïncident sur l'espace entier, deux mesures de probabilité qui coïncident sur un π-système, coïncident sur la tribu engendrée par ce π-système.

Dans certains ouvrages, le lemme de classe monotone apparaît sous le nom de « théorème pi-lambda de Dynkin ».

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Classe monotone et π-système

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Définition  

  • Une classe de parties d'un ensemble Ω est appelée π-système si cette classe est stable par intersection finie :
  • Une classe de parties d'un ensemble Ω est appelée λ-système ou classe monotone si cette classe contient Ω et est stable par différence, et par réunion croissante :
Exemples de π-systèmes :
  • une classe d'intervalles :
  • la classe des singletons :
  • la classe des pavés :
Un exemple de classe monotone :

Soit deux mesures de probabilité et définies sur La classe est une classe monotone.

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Énoncé et démonstration du lemme de classe monotone

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Lemme de classe monotone   La plus petite classe monotone contenant le π-système est la tribu engendrée par

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Applications

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Lemme d'unicité des mesures de probabilité

Le lemme de classe monotone a une conséquence immédiate

Lemme d'unicité des mesures de probabilité   Deux mesures de probabilité et définies sur l'espace probabilisable et coincidant sur le π-système coïncident aussi sur la tribu engendrée par  :

Parmi de nombreuses applications importantes du lemme d'unicité, citons celle qui est peut-être la plus importante :

Corollaire  Il suit que :

Critères d'indépendance

Par exemple,

Critères  Soit X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé

  • Si, pour tout couple (x,y) de nombres réels,
alors X et Y sont indépendantes.
  • Si Y est à valeurs dans et si, pour tout couple
alors X et Y sont indépendantes.
  • Bien sûr, si X et Y sont à valeurs dans et si, pour tout couple
alors X et Y sont indépendantes.

La démonstration du dernier critère ne nécessite pas le lemme de classe monotone, mais ce lemme est très utile pour la démonstration des deux premiers critères. On peut utiliser le deuxième critère pour démontrer, par exemple, que dans la méthode de rejet, le nombre d'itérations est indépendant de l'objet aléatoire (souvent un nombre aléatoire) engendré au terme de ces itérations. Pour la démonstration de ces critères, ainsi que pour la démonstration du lemme de regroupement, on a besoin de la définition et de la proposition[5] suivantes.

Définition   Dans un espace probabilisé une famille finie de classes incluses dans est une famille mutuellement indépendante si et seulement si

Proposition  Si, dans un espace probabilisé une famille finie de π-systèmes inclus dans est une famille mutuellement indépendante, alors la famille est une famille de tribus mutuellement indépendantes.

Applications :
  • Posons et Alors, sous les hypothèses du premier critère, et sont des π-systèmes indépendants. En vertu de la proposition, et sont alors des tribus indépendantes. Mais et ce qui assure bien l'indépendance du couple (X,Y).
  • Posons et Sous les hypothèses du deuxième critère, et sont des π-systèmes indépendants. Par ailleurs, et et on conclut comme précédemment. Pour démontrer le troisième critère, on utilise cette fois et
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Voir aussi

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