Loi de Fisher

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue^[1],[2],[3]. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor.

Fisher-Snedecor
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ degré de liberté
Support	${\displaystyle x\in [0,+\infty [\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ pour ${\displaystyle d_{2}>2}$
Mode	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!}$ pour ${\displaystyle d_{1}>2}$
Variance	${\displaystyle {\tfrac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ pour ${\displaystyle d_{2}>4}$
Asymétrie	${\displaystyle {\tfrac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ pour ${\displaystyle d_{2}>6}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle 12{\tfrac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$ pour ${\displaystyle d_{2}>8}$
modifier

La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que loi de la statistique de test lorsque l'hypothèse nulle est vraie, dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les tests de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test de Fisher.

Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U₁ et U₂, distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement d₁ et d₂ : ${\displaystyle \mathrm {F} (d_{1},d_{2})\sim {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$.

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F(d₁, d₂), est donnée par ${\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}}{x\;\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}}$ pour tout réel x ≥ 0, où d₁ et d₂ sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est : ${\displaystyle F(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$ où I est la fonction bêta incomplète régularisée.

La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante^[4]: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (F\geq x)}$ où F suit une loi de Fisher de paramètres ${\displaystyle d_{1}=2(k+1)\,,\,d_{2}=2(n-k)}$ avec ${\displaystyle x={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}.}$

L'espérance, la variance valent respectivement ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ pour d₂ > 2 et ${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ pour d₂ > 4. Pour d₂ > 8, le kurtosis normalisé est ${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non-centrée (en).

Lois associées et propriétés

• Si ${\displaystyle \ X\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ alors ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ est distribuée selon une loi du χ² ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$;
• La loi ${\displaystyle \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ est équivalente à la loi T² de Hotelling ${\displaystyle (d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)/d_{2})\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2}),}$ alors la loi inverse est aussi une loi de Fisher ${\displaystyle {\frac {1}{X}}\sim F(d_{2},d_{1})}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (d)\!}$ est distribuée selon une loi de Student alors ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,d)}$;
• Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ est distribuée selon une loi normale alors ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,\infty )}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$ et ${\displaystyle Y={\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}}$ alors ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ est distribuée selon une loi bêta;
• Si ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ est le quantile d'ordre ${\displaystyle p}$ pour ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$ et que ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(p)}$ est le quantile d'ordre ${\displaystyle p}$ pour ${\displaystyle Y\sim \operatorname {F} (d_{2},d_{1})}$ alors ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$.

Table de valeurs des quantiles

Définition du 95^e centile d'une loi de Fisher-Snedecor.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres ν₁ et ν₂. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de ${\displaystyle 1-\alpha }$. Ainsi, pour ${\displaystyle 1-\alpha =0,95}$ et ${\displaystyle d_{1}=1}$ et ${\displaystyle d_{2}=3}$, si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table que ${\displaystyle P(X\leqslant 10,13)=0,95.}$

Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95

${\displaystyle d_{2}}$ (dén.)	${\displaystyle d_{1}}$ (numérateur)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	80	100	200	500	1 000
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	248.02	250.10	251.14	251.77	252.20	252.72	253.04	253.68	254.06	254.19
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.45	19.46	19.47	19.48	19.48	19.48	19.49	19.49	19.49	19.49
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.66	8.62	8.59	8.58	8.57	8.56	8.55	8.54	8.53	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.80	5.75	5.72	5.70	5.69	5.67	5.66	5.65	5.64	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.56	4.50	4.46	4.44	4.43	4.41	4.41	4.39	4.37	4.37
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.87	3.81	3.77	3.75	3.74	3.72	3.71	3.69	3.68	3.67
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.44	3.38	3.34	3.32	3.30	3.29	3.27	3.25	3.24	3.23
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.15	3.08	3.04	3.02	3.01	2.99	2.97	2.95	2.94	2.93
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	2.94	2.86	2.83	2.80	2.79	2.77	2.76	2.73	2.72	2.71
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.77	2.70	2.66	2.64	2.62	2.60	2.59	2.56	2.55	2.54
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.12	2.04	1.99	1.97	1.95	1.92	1.91	1.88	1.86	1.85
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.33	2.27	2.21	2.16	1.93	1.84	1.79	1.76	1.74	1.71	1.70	1.66	1.64	1.63
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.08	1.84	1.74	1.69	1.66	1.64	1.61	1.59	1.55	1.53	1.52
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.03	1.78	1.69	1.63	1.60	1.58	1.54	1.52	1.48	1.46	1.45
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.75	1.65	1.59	1.56	1.53	1.50	1.48	1.44	1.41	1.40
70	3.98	3.13	2.74	2.50	2.35	2.23	2.14	2.07	2.02	1.97	1.72	1.62	1.57	1.53	1.50	1.47	1.45	1.40	1.37	1.36
80	3.96	3.11	2.72	2.49	2.33	2.21	2.13	2.06	2.00	1.95	1.70	1.60	1.54	1.51	1.48	1.45	1.43	1.38	1.35	1.34
90	3.95	3.10	2.71	2.47	2.32	2.20	2.11	2.04	1.99	1.94	1.69	1.59	1.53	1.49	1.46	1.43	1.41	1.36	1.33	1.31
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.31	2.19	2.10	2.03	1.97	1.93	1.68	1.57	1.52	1.48	1.45	1.41	1.39	1.34	1.31	1.30
200	3.89	3.04	2.65	2.42	2.26	2.14	2.06	1.98	1.93	1.88	1.62	1.52	1.46	1.41	1.39	1.35	1.32	1.26	1.22	1.21
300	3.87	3.03	2.63	2.40	2.24	2.13	2.04	1.97	1.91	1.86	1.61	1.50	1.43	1.39	1.36	1.32	1.30	1.23	1.19	1.17
500	3.86	3.01	2.62	2.39	2.23	2.12	2.03	1.96	1.90	1.85	1.59	1.48	1.42	1.38	1.35	1.30	1.28	1.21	1.16	1.14
1 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.11	2.02	1.95	1.89	1.84	1.58	1.47	1.41	1.36	1.33	1.29	1.26	1.19	1.13	1.11
2 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.10	2.01	1.94	1.88	1.84	1.58	1.46	1.40	1.36	1.32	1.28	1.25	1.18	1.12	1.09

Voir aussi

• Test de Fisher