Loi de Markov-Pólya

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la loi de Markov-Pólya^[1] (ou loi de Pólya-Eggenberger^[2] ou loi de Pólya^[3]) est une loi de probabilité discrète. Elle doit son nom au mathématicien George Pólya (ainsi qu'aux mathématiciens F Eggenberger et Andreï Markov) qui a publié un article^[4], conjointement avec Eggenberger, en 1923 sur cette loi ainsi que sur le problème d'urne sous-jacent. Cependant Markov serait le premier à avoir étudié cette loi en 1917^[5].

Loi de Markov-Pólya
Paramètres	${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,~h(1-n)\leq \min(a,b)}$ ${\displaystyle m=a+b}$
Support	${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$
Fonction de masse	${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {\sum _{i=0}^{k-1}(a+ih)\sum _{i=0}^{n-k-1}(b+ih)}{\sum _{i=0}^{n-1}(m+ih)}}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {na}{m}}}$
Variance	${\displaystyle {\frac {n(n-1)a(a+h)}{m(m+h)}}+{\frac {na}{m}}-\left({\frac {na}{m}}\right)^{2}}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle {\frac {_{2}F_{1}(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n\,;\,t)}{_{2}F_{1}(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n\,;\,1)}}}$
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Définition

Considérons une urne contenant a boules blanches et b boules noires (pour un total de m = a + b boules). Nous répétons l'expérience suivante n fois : on pioche uniformément au hasard une boule dans l'urne, puis, on replace la boule piochée ainsi que h autres boules de la même couleur dans l'urne. La loi de Markov-Pólya de paramètres a, b, h et n est alors la loi de la variable aléatoire X qui compte le nombre total de boules blanches piochées au bout de ces n tirages.

La fonction de masse de la variable X peut se calculer et on a^[6],[7]

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\binom {n}{k}}{\frac {a(a+h)\dots (a+(k-1)h)b(b+h)\dots (b+(n-k-1)h)}{m(m+h)\dots (m+(n-1)h)}}={\binom {n}{k}}{\frac {a^{(k,h)}b^{(n-k,h)}}{m^{(n,h)}}}~~~\forall k=0,1,\dots ,n}$

où on a utilisé la notation^[3] suivante ${\displaystyle x^{(r,i)}:=x(x+i)(x+2i)\dots (x+(r-1)i)}$.

Les paramètres a, b et n sont des entiers naturels tandis que h est un entier relatif, il peut donc être négatif^[8]. Lorsque h est négatif on rajoute la condition ${\displaystyle -h(n-1)\leq \min(a,b)}$ pour éviter tout problème de définition.

Propriétés

Soit X une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres a, b, h et n.

• Si h = 0, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p = a/m.
• Si h = −1, alors X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, p = a/m et N = m.
• Si h = 1, alors X suit une loi bêta-binomiale de paramètres 𝛼 = a, 𝛽 = b et n.
• Lorsque h ≠ 0 on peut réécrire la fonction de masse de X des manières suivantes : ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\binom {n}{k}}{\frac {(a/h)^{(k)}(b/h)^{(n-k)}}{(m/h)^{(n)}}}={\frac {{\binom {-a/h}{k}}{\binom {-b/h}{n-k}}}{\binom {-m/h}{n}}}~~~\forall k=0,1,\dots ,n}$

où ${\displaystyle x^{(r)}}$ désigne la factorielle croissante et ${\displaystyle {\binom {z}{x}}}$ désigne un coefficient binomial généralisé^[9].

• L'espérance de X est donnée par ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {na}{m}}}$.

Il est intéressant de noter que l'espérance ne dépend pas du paramètre h.

• La variance de X est donnée par ${\displaystyle V[X]={\frac {n(n-1)a(a+h)}{m(m+h)}}+{\frac {na}{m}}-\left({\frac {na}{m}}\right)^{2}}$.
• Plus généralement, si h ≠ 0 alors le r-ième moment factoriel de X est donnée par^[7] ${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {(n)_{r}(-a/h)_{r}}{(-m/h)_{r}}}={\frac {(n)_{r}(a/h)^{(r)}}{(m/h)^{(r)}}}}$

où ${\displaystyle (x)_{r}}$ désigne la factorielle décroissante.

• La fonction génératrice des probabilités de X vérifie^[7] ${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {_{2}F_{1}(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n\,;\,t)}{_{2}F_{1}(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n\,;\,1)}}}$

où ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ désigne la fonction hypergéométrique.

Limites

• Soit X_n une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres a, b, h > 0 (fixés) et n. On a la convergence en loi suivante^[10] : ${\displaystyle {\frac {X_{n}}{hn+m}}~{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {L}}}~\mathrm {B} \left({\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}}\right)}$

où B désigne la loi bêta. En fait la convergence a lieu pour la distance de Wasserstein à tous les ordres ${\displaystyle p\in [1,+\infty ]}$ avec pour vitesse de convergence 1/n. Cela implique en particulier la convergence de tous les moments vers ceux de la loi bêta.

• Soit X_n une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres a, b, h > 0 (dépendant de n) et n. Supposons que ${\displaystyle nh\rightarrow \theta }$ et que ${\displaystyle {\frac {na}{m}}\rightarrow r\theta }$ quand n tend vers l'infini. Alors X_n converge en loi^[11] vers une loi binomiale négative^[12] de paramètres r et p = 1/(1+𝜃).
• D'autres limites sont possibles (par exemple vers une loi gaussienne lorsque h = 0) en changeant la manière dont évoluent les paramètres en fonction de n^[13].

Généralisation

On peut généraliser la loi de Markov-Pólya en considérant non plus 2 mais q > 2 couleurs de boules différentes dans l'urne avec a₁ boules blanches, a₂ boules noires, a₃ boules rouges, etc. Dans ce cas si X représente le vecteur du nombre de boules tirées par couleur après n tirages alors on a^[6]:

${\displaystyle \mathbb {P} ({\textbf {X}}=(k_{1},\dots ,k_{q}))={\binom {n}{k_{1}\dots k_{q}}}{\frac {a_{1}^{(k_{1},h)}\dots a_{q}^{(k_{q},h)}}{m^{(n,h)}}}~~~\forall k_{i}=0,1,\dots ,n}$.

Il est toujours possible de calculer la fonction génératrice multivariée de X en utilisant les fonctions hypergéométriques.

Pour a₁, ... , a_q, h > 0 (fixés) et n qui tend vers l'infini, on a convergence en loi^[10] du vecteur ${\displaystyle {\frac {{\textbf {X}}_{n}}{hn+m}}}$ vers une loi de Dirichlet de paramètres a₁/h, ... , a_q/h.