Loi de Nakagami

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support ${\displaystyle [0,\infty [}$. Le paramètre ${\displaystyle m>0}$ est un paramètre de forme, le second paramètre ${\displaystyle \omega >0}$ permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

Loi de Nakagami
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle m\geq 1/2}$, paramètre de forme ${\displaystyle \omega >0}$, propagation
Support	${\displaystyle x>0\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Médiane	pas d'expression formelle
Mode	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Variance	${\displaystyle \omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$
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Caractérisations

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par^[1] :

${\displaystyle f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

${\displaystyle F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Estimation des paramètres

Les paramètres ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle \omega }$ sont^[2] :

${\displaystyle m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},}$

et

${\displaystyle \omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].}$

Simulation

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, ${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )}$, en posant ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle \theta =\omega /m}$, et en considérant la racine carrée de Y :

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}\,}$.

Historique et applications

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960^[3], c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins^[4].