Loi de Tukey-lambda

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Loi de Tukey-lambda
Paramètres	${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ paramètre de forme
Support	${\displaystyle {\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}}$
Densité de probabilité	donnée par les quantiles : ${\displaystyle (Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}$
Fonction de répartition	${\displaystyle ({\rm {e}}^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0}$
Espérance	${\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1}$
Médiane	0
Mode	0
Variance	${\textstyle {\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}\right)&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}}$
Asymétrie	${\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1/3}$
Kurtosis normalisé	${\textstyle {\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}{\frac {g_{2}^{2}\left(3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}\right)}{g_{4}\left(g_{1}^{2}-g_{2}\right)^{2}}}-3,}$ où ${\textstyle g_{k}=\Gamma (k\lambda +1)}$ et ${\textstyle \lambda >-1/4}$.
Entropie	${\displaystyle \int _{0}^{1}\log(Q'(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p}$[1]
Fonction caractéristique	${\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(\,{\rm {i}}t\,Q(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p}$[2]
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Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles^[3]:

${\displaystyle G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\operatorname {logit} (p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}}$

avec la fonction logit.

Le paramètre ${\displaystyle \lambda }$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1	approximativement une loi de Cauchy
λ = 0	exactement une loi logistique
λ = 0,14	approximativement une loi normale
λ = 0,5	strictement concave
λ = 1	exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

Lois de Tukey-lambda généralisées

• La version de Ramberg et Schmeiser^[4]

${\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}}$

• La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin^[5]

${\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}}$