Métrique de Minkowski

La métrique de Minkowski est la métrique définissant les propriétés de l'espace-temps de Minkowski. Elle joue un rôle capital dans les théories de la relativité restreinte et générale car elle contient toute l'information topologique de l'espace-temps global en relativité restreinte, et de l'espace-temps local en relativité générale. Elle est invariante par changement de référentiel galiléen par une transformation de Lorentz.

Définition

En relativité restreinte, l'espace et le temps sont liés par une constante universelle homogène à une vitesse, notée ${\displaystyle c}$, qui joue le rôle d'une vitesse limite. Cette constante chronogéométrique qui structure l'espace-temps a une valeur égale à la vitesse de la lumière^[1],[2]. L'espace et le temps forment l'espace-temps à quatre dimensions appelé espace de Minkowski. Dans cet espace on utilise préférentiellement les coordonnées galiléennes^[3], rectangulaires autrement dit rectilignes orthogonales, ${\displaystyle (t,x,y,z)}$, ou les coordonnées galiléennes réduites^[3] ${\displaystyle (ct,x,y,z)}$, où la multiplication de la coordonnées temporelle par ${\displaystyle c}$ la rend homogène à un espace.

L'intervalle entre deux évènements est un scalaire invariant relativiste ou scalaire de Lorentz appelé métrique de l'espace-temps de Minkowski, dont le carré est défini par la forme (une forme est un polynôme homogène) quadratique^[4] :

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=\pm [c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}]}$.

où :

• ${\displaystyle t}$ est la coordonnée de temps,
• ${\displaystyle x,y,z}$ sont les trois coordonnées d'espace,
• ${\displaystyle c}$ est la constante chrono-géométrique.
• le signe est affaire de convention

Démonstration de l'invariant relativiste s²^[5],[6],[7]

Dans un référentiel galiléen ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de système de coordonnées galiléennes ${\displaystyle (x,y,z,t)}$, imaginons qu'à l'origine spatiale ${\displaystyle O(0,0,0)}$ se produise un flash à l'instant initial ${\displaystyle t=0}$. Supposons que la lumière se propage à la vitesse limite ${\displaystyle c}$. Un observateur dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ voit une sphère de lumière de centre ${\displaystyle O}$ s'étendre dans l'espace, d'équation :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}}$

Soit ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ un référentiel galiléen se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}_{e}}$ constante dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, selon les axes ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle x'}$ confondus, dans le sens des ${\displaystyle x}$ croissants. On suppose qu'à l'instant initial ${\displaystyle t'=t=0}$, l'origine spatiale ${\displaystyle O'(0,0,0)}$ de ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ croise celle de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. En relativité restreinte comme en mécanique non relativiste, un observateur dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ voit aussi une sphère de lumière s'étendre dans l'espace. Cependant, par invariance de ${\displaystyle c}$, en relativité la sphère de lumière vue par un observateur dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ n'a pas pour centre ${\displaystyle O}$ mais ${\displaystyle O'}$, et a pour équation dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ :

${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}}$

L'équation de la sphère de lumière est invariante par changement de référentiel galiléen, c'est un invariant relativiste. Cela suggère de poser

${\displaystyle s^{2}=\pm \left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)}$

où le signe positif ou négatif est choisi de façon purement conventionnelle. Avec cette définition, si ${\displaystyle s^{2}}$ est nul dans un référentiel galiléen ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, alors il est nul dans tout autre référentiel galiléen ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, autrement dit ${\displaystyle s^{2}}$ et ${\displaystyle s'^{2}}$ sont proportionnels :

${\displaystyle s^{2}=as'^{2}}$

L'espace étant supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'endroit où elle est faite), le facteur de proportionnalité ${\displaystyle a}$ ne peut être fonction des coordonnées. Le temps étant également supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'époque à laquelle elle est faite), ${\displaystyle a}$ ne peut être fonction du temps. L'espace étant supposé isotrope (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'orientation choisie), ${\displaystyle a}$ ne peut être fonction de la direction de la vitesse relative des référentiels. ${\displaystyle a}$ n'est donc fonction que de la norme euclidienne de la vitesse relative des référentiels :

${\displaystyle s^{2}=a(v_{e})s'^{2}}$

Considérons trois référentiels d'inertie, nous avons alors :

${\displaystyle s_{1}^{2}=a(v_{12})s_{2}^{2}}$

${\displaystyle s_{2}^{2}=a(v_{23})s_{3}^{2}}$

${\displaystyle s_{1}^{2}=a(v_{13})s_{3}^{2}}$

ce qui donne

${\displaystyle s_{1}^{2}=a(v_{12})a(v_{23})s_{3}^{2}}$

c'est-à-dire

${\displaystyle a(v_{13})=a(v_{12})a(v_{23})}$

Cette relation est impossible car ${\displaystyle v_{13}}$ dépend non seulement des valeurs ${\displaystyle v_{12}}$ et ${\displaystyle v_{23}}$, mais aussi de l'angle entre les vecteurs ${\displaystyle {\vec {v}}_{12}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}_{23}}$. Par conséquent ${\displaystyle a}$ est une constante et nous avons :

${\displaystyle a=a^{2}}$

Cela laisse deux possibilités, ${\displaystyle a=0}$ donne ${\displaystyle s=0}$ ce qui est impossible, donc ${\displaystyle a=1}$ et :

${\displaystyle s^{2}=s'^{2}}$

${\displaystyle s}$ est la distance spatio-temporelle quadridimensionnelle, invariante par changement de référentiel galiléen, donc absolue dans l'espace-temps.

Il s'agit ici de l'intervalle d'espace-temps entre l'évènement origine ${\displaystyle (0,0,0,0)}$ et l'évènement ${\displaystyle (t,x,y,z)}$. Le scalaire ${\displaystyle s}$ étant invariant par changement de coordonnées spatio-temporelle, on l'appelle quadriscalaire ou scalaire de Lorentz ou encore un invariant de Lorentz.

 

Si les deux événements ont lieu au même endroit dans le référentiel galiléen de l'observateur alors :

${\displaystyle \Delta s^{2}=\pm (c^{2}\Delta \tau ^{2})}$,

où ${\displaystyle \tau }$ est le temps propre de l'observateur.

Pour deux événements infiniment proches dans l'espace-temps, la métrique de Minkowski est définie par la forme quadratique différentielle^{[8],[9],[10],[11]} :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\pm (c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2})=\pm (c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j})=\pm (c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2})}$,

où :

• ${\displaystyle \mathrm {d} \tau }$ est l'intervalle de temps propre^[12] ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ est l'intervalle de temps-coordonnée^[12] ;
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$ est le symbole de Kronecker^[13] qui représente la métrique de l'espace euclidien à trois dimensions en coordonnées cartésiennes^[12].

Signature de la métrique de Minkowski

Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

alors la signature de la métrique est ${\displaystyle (1,3)}$, ou le premier entier indique le nombre de signes positifs, et le second entier le nombre de signes négatifs. On donne souvent la métrique sous sa forme explicite ${\displaystyle (+---)}$. Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$

alors la signature de la métrique est ${\displaystyle (3,1)}$, ou sous forme explicite ${\displaystyle (-+++)}$.

La loi d'inertie de Sylvester^[14] stipule que la signature est indépendante du système de coordonnées choisi, autrement dit du référentiel galiléen en relativité.

Approche tensorielle

Plaçons-nous dans la base naturelle^[3] du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons ${\displaystyle e_{\mu }}$ les quadrivecteurs de base de la base naturelle. Leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski. En notation indicielle :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\equiv e_{\mu }\cdot e_{\nu }}$

où :

• l'on utilise la notation habituelle ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ pour désigner spécifiquement les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski^[15] plutôt que la notation d'usage ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ pour les tenseurs métriques
• le produit scalaire, plus précisément appelé quadri-produit scalaire, n'est pas euclidien^[14], dans le sens où il n'est pas défini-positif mais "seulement" non dégénéré (condition moins restrictive)
• par symétrie du quadri-produit scalaire le tenseur métrique est symétrique. Il a 4x4=16 composantes, dont 10 sont indépendantes
• le tenseur métrique est diagonal lorsque le système de coordonnées est rectangulaire
• le tenseur métrique est deux fois covariant

Les quadrivecteurs sont invariants par changement de référentiel galiléen (i.e. par changement de coordonnées spatio-temporelles, ou par transformation de Lorentz). Leur norme, leur direction et leur sens ne changent pas, seules leurs composantes changent. Un quadrivecteur ${\displaystyle A}$ de composantes contravariantes ${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle e_{\mu }}$ s'écrit, selon la convention de sommation sur les indices répétés d'Albert Einstein :

${\displaystyle A=\sum _{\mu =0}^{3}A^{\mu }e_{\mu }=A^{\mu }e_{\mu }}$.

Le quadri-produit scalaire de deux quadrivecteurs ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ s'écrit :

${\displaystyle A\cdot B\equiv A^{\mu }e_{\mu }\cdot B^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }B^{\nu }\eta _{\mu \nu }}$

Le quadri-produit scalaire d'un quadrivecteur avec lui-même donne le carré de sa pseudo-norme (qui est donc un invariant ou scalaire de Lorentz):

${\displaystyle A\cdot A=A^{\mu }e_{\mu }\cdot A^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }A^{\nu }\eta _{\mu \nu }=A^{\mu }A_{\mu }=\|A\|^{2}}$

Le vecteur position, appelé quadrivecteur position ou vecteur d'univers, a pour expression :

${\displaystyle X=x^{\mu }e_{\mu }}$

Ses composantes contravariantes^[4] s'écrivent :

${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},x^{i})=(ct,{\vec {x}})}$

où :

• l'indice latin varie de 1 à 3
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$ est le trivecteur position de la mécanique classique

Le carré de sa pseudo-norme est le carré de la métrique de l'espace-temps de Minkowski :

${\displaystyle X\cdot X=x^{\mu }e_{\mu }\cdot x^{\nu }e_{\nu }=x^{\mu }x^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\pm [(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}]=\pm (c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})}$

Signature de la métrique de Minkowski

Dans le premier cas, si l'on conserve le signe positif, le carré de la pseudo-norme des vecteurs de base de la base naturelle ont pour expression ${\displaystyle e_{\mu }^{2}=\{1}$ si ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle -1}$ si ${\displaystyle \mu =1,2,3\}}$. Le tenseur métrique s'écrit alors^[16] en notation matricielle :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Il a pour signature ${\displaystyle (+---)}$^[9].

Dans la seconde convention de signe, si l'on garde le signe négatif, le tenseur métrique s'écrit :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Il a pour signature ${\displaystyle (-+++)}$.

Propriétés

Pour une signature ${\displaystyle (+---)}$, la forme quadratique ${\displaystyle Q({\widetilde {x}})={\widetilde {x}}\cdot {\widetilde {x}}={\widetilde {x}}^{2}}$ est de genre temps lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}>0}$, de genre lumière lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}=0}$ et de genre espace lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}<0}$. Cette classification est invariante par changement de référentiel galiléen.

Il est à noter qu'en relativité générale, toute métrique peut être remplacée par la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées géodésiques locales (au voisinage infinitésimal d'un événement). L'espace-temps de Minkowski est l'espace osculateur (tangent à l'ordre deux) à la variété riemannienne qui modélise l'espace-temps courbe de la relativité générale.

Le tenseur métrique ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ et son inverse ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ coïncident^[16] :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(\eta _{\mu \nu })^{-1}=\eta ^{\mu \nu }}$

et

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=4}$.