Madhava de Sangamagrama

Madhava de Sangamagrama (1350-1425) est un mathématicien indien, père de l'analyse mathématique. Il fonda l'école mathématique et astronomique du Kerala.

Madhava de Sangamagrama

Biographie

Naissance	1340
Décès	1425 Sous-continent indien
Nom dans la langue maternelle	സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ ou संगमग्राम के माधव
Nom de naissance	സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ
Activités	Mathématicien, astronome

Œuvres principales

Venvaroha (d)

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

Calcul de pi

Vers 1400, Madhava de Sangamagrama a trouvé les séries qui portent son nom (en) et qui correspondent, en langage moderne, aux développements en série entière ou en série de Taylor des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et arctangente.

Le développement de arctangente, redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVII^e siècle, est la série dite de Madhava-Gregory-Leibniz (un ou deux de ces trois noms étant souvent omis) :

${\displaystyle \arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}\quad (x\in \left[-1,1\right]).}$

Son application à x = 1, elle aussi connue sous le nom de série (ou formule) de Madhava-Leibniz^[1],[2],[3], donne une expression du nombre π :

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

mais la convergence de cette série alternée est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : environ 1 000 termes sont nécessaires pour arriver à l'intervalle de 2.10^–3 qu'avait atteint Archimède.

En l'appliquant plutôt à x = 1/√3, la série converge bien plus vite :

${\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)3^{k}}},}$

ce qui a permis à Madhava de donner comme approximation de π le nombre 3,14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kashi, qui a réussi à donner 16 décimales.