Mesure gaussienne

En analyse, les mesures gaussiennes sont des mesures qui ont une mesure image avec une densité normale sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Définition

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension finie

En dimension 1

Une mesure de probabilité de Borel ${\displaystyle \gamma }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

• c'est la mesure de Dirac ${\displaystyle \gamma$ :=\delta _{p}} en un point ${\displaystyle p}$
• elle a la forme suivante

${\displaystyle \gamma (B)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{B}\exp \left(-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x,\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré^[1].

En dimension d

Une mesure de probabilité de Borel sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire ${\displaystyle f\in (\mathbb {R} ^{d})^{*}}$, la mesure ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ est une mesure gaussienne sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[2].

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension infinie

Espace localement convexe

Soit ${\displaystyle X}$ un espace localement convexe et ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ la tribu généré par tous les sous-ensembles cylindriques de ${\displaystyle X}$, telle que toutes les fonctionnelles ${\displaystyle f\in X^{*}}$ soient mesurables.

Une mesure de probabilité ${\displaystyle \gamma }$ sur ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ est gaussienne si pour toute fonctionnelle ${\displaystyle f\in X^{*}}$ la mesure ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ est une mesure gaussienne sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[3].