Modèle multi-échelle

Un modèle multi-échelle est un modèle utilisé pour résoudre des problèmes se manifestant simultanément à plusieurs échelles spatiales et temporelles. Il appartient à une famille de méthodes relevant de la physique mathématique utilisées en mécanique des fluides, physique des matériaux, chimie, météorologie, recherche opérationnelle, traitement d'images, etc.

Historique du problème

Nombre de problèmes descriptibles à une petite échelle peuvent également être décrits à une plus grande échelle. Classiquement on peut citer la mécanique des fluides avec le passage de l'équation de Boltzmann à l'équation de Navier-Stokes par la méthode de Chapman-Enskog. Ce schéma de passage d'une échelle à l'autre (à une équation de type advection-diffusion) se reproduit dans de nombreux domaines décrits par une équation de type boltzmannien : transfert radiatif, neutronique, dépôt de particules dans la matière, conduction thermique (équation de Boltzmann-Peierls), aérosols (équation de Boltzmann-Williams).

On peut également rechercher des propriétés équivalentes (propriétés mécaniques ou thermiques, propriétés de perméation) d'un matériau par prise de moyenne volumique, par la théorie de l’homogénéisation (analyse asymptotique) ou l'analyse stochastique pour la définition d'un volume élémentaire représentatif dans le cas d'un milieu aléatoire.

Dans tous les cas cela revient à introduire un modèle (généralement un système linéaire) décrivant (analytiquement ou numériquement) l'échelle microscopique que l'on inclut dans le modèle macroscopique. De ce fait l'échelle microscopique disparaît.

Parfois le domaine où une description microscopique est nécessaire est d'extension suffisamment faible pour être ignoré et ses effets réduits à des conditions aux limites spécifiques comme dans le cas de la couche de Knudsen.

Toutefois il existe de nombreux cas où les échelles coexistent dans des régions de l'espace ou du temps non connu à l'avance et où les effets sont non-linéaires, par exemple la fissuration dans un matériau inhomogène à petite échelle (matériaux composites, granulaires, multiphasés, biologiques, métamatériaux). Ce type de problème fait intervenir une échelle nanoscopique décrite par la physique atomique, une échelle microscopique décrite par la dynamique moléculaire, une échelle mésoscopique traitant des petites structures du matériau et d'une échelle macroscopique traitant de la pièce mécanique étudiée^[1]. Ceci a conduit à l'élaboration de méthodes physiques et numériques dans une perspective technologique (particulièrement au sein du Département de l'Énergie des États-Unis), favorisées par l'émergence du parallélisme des ordinateurs qui permet le calcul simultané des diverses échelles^[2]. Le succès de cette approche a conduit à son extension à beaucoup d'autres domaines. Ainsi Martin Karplus, Michael Levitt et Arieh Warshel ont reçu le prix Nobel de chimie pour le développement d'un modèle multi-échelle combinant un modèle macroscopique décrivant assez sommairement une macromolécule et un calcul au niveau atomique pour décrire sa partie active dans l'interaction avec un autre corps^[3],[4],[5]. Il faut cependant mentionner que diverses approches existaient déjà comme le couplage d'une équation de type Boltzmann avec un modèle macroscopique en mécanique des fluides^[6], en conduction^[7] ou en rayonnement^[8].

Le succès de cette discipline a entraîné la création de revues spécialisées comme Multiscale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal du SIAM, International Journal for Multiscale Computational Engineering ou International Journal of Theoretical and Applied Multiscale Mechanics de l'IUTAM.

Approche multi-échelles

La résolution des problèmes multi-échelles spatiales relève de la physique mathématique et de l'analyse numérique^{[9],[10],[11]}. Outre les domaines de la mécanique des fluides (et les problèmes analogues en transfert radiatif, neutronique, conduction, dépôt de particules) et de la mécanique on la rencontre pour décrire les macromolécules^[12],[13], les plasmas^[14], la biologie^[15] ou en recherche opérationnelle (problèmes logistiques ou organisationnels). On peut également citer à nouveau la mécanique des fluides, cette fois pour les problèmes d'échelles locales et globales (turbulence^[16], météorologie^[17]).

En général la description des divers niveaux de description fait appel à des modèles connus et le problème est de trouver des méthodes de couplage des diverses échelles. Ces méthodes sont très diverses en fonction du problème traité : problèmes de même nature ou pas aux diverses échelles, échelles clairement séparées ou non (recouvrement de domaines). Suivant le cas la résolution numérique se fera par l'intermédiaire de conditions aux limites ou par recouvrement ou raffinement local de maillage^[18]. Il faut noter que la solution des divers problèmes couplés peut résulter de codes utilisant des langages hétérogènes, ce qui entraine un problème purement informatique.

Lorsque se superpose un problème d'échelles temporelles le couplage se fera non seulement par les conditions aux limites mais aussi par les conditions initiales (découplage temporel). Dans quelques cas de problèmes hétérogènes mais décrits par l'opérateur de Boltzmann (donc mathématiquement homogènes), le couplage s'effectue naturellement. Un exemple est le couplage écoulement fluide - rayonnement^[19] ou solide - rayonnement^[20].

Voir aussi

• Décomposition de domaine