Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module ${\displaystyle P}$ (à gauche par exemple) sur un anneau ${\displaystyle A}$ tel que pour tout morphisme surjectif ${\displaystyle f:N\to M}$ entre deux ${\displaystyle A}$'-modules (à gauche) et pour tout morphisme ${\displaystyle g:P\to M}$, il existe un morphisme ${\displaystyle h:P\to N}$ tel que ${\displaystyle g=f\circ h}$, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Autrement dit : ${\displaystyle P}$ est projectif si pour tout module ${\displaystyle N}$, tout morphisme de ${\displaystyle P}$ vers un quotient de ${\displaystyle N}$' se factorise par ${\displaystyle N}$.

Propriétés

• Les A-modules projectifs sont les objets projectifs de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P,–) (covariant, exact à gauche) est exact.
• Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
• Par conséquent, tout module projectif est plat. La réciproque est fausse, mais tout module plat de présentation finie est projectif.
• Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à Aⁿ ⊕ I pour un idéal I de A.
• Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
• D'après le théorème de Quillen-Suslin, sur un anneau de polynômes A[X₁,...,X_n] où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est libre^[1],[2]. Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de Laurent A[X₁, …, X_n, Y₁, …, Y_m, Y₁⁻¹, …, Y_m⁻¹]^[3]. Voir également l'article Anneau d'Hermite.
• Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. e² = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre^[4].
• Sur un anneau local, tout module projectif est libre^[5].

Rang

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du A_p-module libre P_p est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n^[6].