Ondelette de Daubechies

Nommées d'après leur créatrice Ingrid Daubechies, les ondelettes de Daubechies sont une famille d'ondelettes orthogonales définissant une transformée en ondelettes discrète, caractérisées par un nombre maximal de moments dissipants pour un support donné. Pour chaque type d'ondelette de cette classe, il existe une fonction d'échelle (appelée aussi ondelette mère) qui génère une analyse multirésolution orthogonale.

Ondelette 2D de Daubechies 20 (Ondelette Fn X Scaling Fn).

Définition et propriétés

Les filtres de Daubechies sont définis de façon à vérifier les propriétés suivantes^[1] :

• pour un ordre N, le filtre m_N est un polynôme trigonométrique de degré 2N+1 à coefficients réels
• ils vérifient :
  • ${\displaystyle \forall x,\left|m_{N}(x)\right|^{2}+\left|m_{N}(x+\pi )\right|^{2}=1}$
  • ${\displaystyle m_{N}(0)=1\ ,\ \forall p\in [\![0,N]\!],\left.{\frac {\partial ^{p}m_{N}}{\partial x^{p}}}(x)\right|_{x=\pi }=0}$

Celles-ci ne suffisent pas à définir précisément le filtre, seulement son module :

${\displaystyle \left|m_{N}(x)\right|^{2}=Q_{N}(\cos x)}$

où

${\displaystyle Q_{N}(X)=\left({\frac {1+X}{2}}\right)^{N+1}\sum _{k=0}^{N}{\binom {N+k}{k}}\left({\frac {1-X}{2}}\right)^{k}.}$