Paramètre de Kerr

En astrophysique, le paramètre de Kerr, ainsi désigné en l'honneur du mathématicien néo-zélandais Roy P. Kerr, ou paramètre de spin, est un paramètre qui exprime le moment cinétique par unité de masse.

Terminologie

Les paramètres de Kerr^{[1],[N 1]} (au pluriel) sont les deux paramètres ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle a}$ qui apparaissent dans l'expression de la métrique de Kerr^[2],[3]. Celle-ci est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide ${\displaystyle (R_{\mu \nu }=0)}$ pour n'importe quelle valeur de ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle a}$^[4],[5]. Ceux-ci n'ont pas de signification physique a priori et leur interprétation doit être déduite du comportement asymptotique de la métrique^[6]. Thorne et Hansen ont obtenu leur interprétation rigoureuse à partir de la définition des moments multipolaires des espaces-temps vides, stationnaires et asymptotiquement plats^[7].

${\displaystyle m}$ est le paramètre de masse^[2],[5],[8] car il est relié à la masse. Il est défini par^[8] :

${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}}$,

où ${\displaystyle G}$ est la constante de Newton, ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide, et ${\displaystyle M}$ est la masse. Dans le système d'unités géométriques ${\displaystyle (c=G=1)}$, ${\displaystyle m=M}$.

${\displaystyle a}$ est le paramètre de rotation^[2],[5] car il est relié au taux de rotation. Le paramètre de Kerr (au singulier) désigne le paramètre ${\displaystyle a}$.

Notation et définition

Le paramètre de Kerr^{[9],[10],[N 2]} est couramment noté a^{[11],[N 3]} et est défini par^[14] :

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}}$,

où :

• ${\displaystyle J}$ est le moment cinétique^[11] ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse^[11] ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide (c=2,997 924 58×10⁸ m·s^-1).

L'équation qui précède est parfois simplifiée en

${\displaystyle a={\frac {j}{c}}}$,

où j est le moment cinétique spécifique, c'est-à-dire le moment cinétique par unité de masse

${\displaystyle j={\frac {J}{M}}}$.

Ainsi défini, le paramètre de Kerr a la dimension d'une longueur^[11] : [a] = L.

Paramètre adimensionné

Dans le système d'unités géométriques de la relativité générale, il est remplacé par un paramètre adimensionnel : le paramètre adimensionnel de Kerr^{[N 4]} ou paramètre de spin adimensionné.

Une convention de notation permet de distinguer le paramètre dimensionné au paramètre adimensionné : par exemple, celui-ci est noté ${\displaystyle {\hat {a}}}$^[15], ${\displaystyle a_{\star }}$^[13] ou ${\displaystyle {\bar {a}}}$.

Il est relié au paramètre a par l'équation

${\displaystyle {\bar {a}}={\frac {c^{2}}{G}}{\frac {a}{M}}={\frac {c}{G}}{\frac {J}{M^{2}}}={\frac {c}{G}}{\frac {j}{M}}}$,

où G est la constante gravitationnelle.

La limite de Thorne^{[N 5]} est la valeur numérique maximale du paramètre adimensionné pour un trou noir en équilibre. Elle est inférieure à 1^[16] et d'environ 0,998^[16], sa valeur exacte dépendant des propriétés d'émission du gaz dans le disque d'accrétion^[16].