Plan euclidien

En mathématiques élémentaires, le plan euclidien est un plan identifiable^[1] à l'espace affine euclidien dont l'ensemble sous-jacent est le produit cartésien de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, l'ensemble des nombres réels, par lui-même, soit l'ensemble des duplets de nombres réels :

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ~\mathrm {et} ~y\in \mathbb {R} \}.}$

Cercle dessiné dans un plan euclidien (Ox, Oy).

Le nom de « plan euclidien » peut être vu comme abusif, on peut parler d'espace euclidien de dimension 2.

Le plan euclidien

Topologie concepts de base illustrations.

Les applications ${\displaystyle +,\cdot {\text{ et }}(.|.)}$de ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2},+,.,(.|.)\right)}$, couramment appelées addition, produit externe et produit scalaire, sont définies par

${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},((x,y),(x',y'))\mapsto (x+x',y+y')}$;

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)} ;

${\displaystyle (.|.):\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ;\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto xx'+yy'} .

Le produit scalaire permet de définir la structure topologique d'espace métrique du plan euclidien.

Ce plan est identifié au plan complexe, où l'on a défini en plus un produit interne

${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto (xx'-yy',xy'+yx')} .

Un repère orthonormé de ce plan est constitué d'un point origine et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1. Il est utilisé par exemple pour la représentation graphique de courbes planes.

Historique

Le développement rapide de la géométrie analytique, notamment dès le XVII^e siècle grâce à René Descartes et Pierre de Fermat, a peu à peu convaincu de la possibilité de substituer un espace affine par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{4},...}$ Par ailleurs, le développement de la géométrie projective au XIX^e siècle a permis de comprendre la raison profonde de ces identifications^[1],[2].