Points cocycliques

En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques

Propriété — Soient A, B, C, et D quatre points distincts du plan. Alors A, B, C, et D sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d’angles orientés

${\displaystyle \left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .}$

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Si a, b, c, et d sont les affixes (c.-à-d. a, b, c, et d sont des nombres complexes ) respectives de A, B, C, et D, la condition précédente s'écrit aussi

${\displaystyle \arg \left({\frac {c-b}{c-a}}\right)=\arg \left({\frac {d-b}{d-a}}\right)\mod \pi }$

D’où en utilisant le birapport, la condition équivalente :

${\displaystyle [a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)}$ réel

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.

Théorème — Soient A, B, C, et D quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l’une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

${\displaystyle AB\cdot CD\pm AC\cdot DB\pm AD\cdot BC=0}$.

L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit −^[1].

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Concyclic », sur MathWorld