Polyèdre isoédrique

En géométrie, un polytope de dimension 3 (un polyèdre) ou plus est dit isoédrique lorsque ses faces sont identiques. Plus précisément, toutes les faces ne doivent pas être simplement isométriques, mais doivent être transitives, c'est-à-dire qu'elles doivent se trouver dans la même orbite de symétrie. En d'autres termes, pour toutes les faces A et B, il doit y avoir une symétrie de l'ensemble du solide par rotations et réflexions qui envoie A sur B. Par exemple, les polyèdres isoédriques convexes fournissent des dés équitables.

Un jeu de dés isoédriques

Les polyèdres isoédriques sont appelés isoèdres. Ils peuvent être décrits par la configuration des faces. Un isoèdre à sommets réguliers est également transitive pour les arêtes (isotoxale) et est dite dualement quasirégulière. Un isoèdre a un nombre pair de faces.

Un polyèdre isoédrique a un polyèdre dual qui est isogonal, c'est-à-dire à sommets transitifs. Les solides de Catalan, les bipyramides et les trapézoèdres sont tous isoédriques. Ce sont les duaux des solides d'Archimède isogonaux, des prismes et des antiprismes, respectivement. Les solides de Platon, qui sont soit auto-duaux, soit doubles avec un autre solide de Platon, sont isogonaux, isotoxaux et isoédriques. Un polyèdre isoédrique et isogonal est dit noble (en).

Tous les isozonoèdres^[1] ne sont pas isoèdres^[2]. Exemple : un icosaèdre rhombique est un isozonoèdre non isoèdrique^[3].

Exemples

Convexe			Concave
La bipyramide hexagonale, V4.4.6 est un exemple non régulier de polyèdre isoédrique.	Le pavage du Caire, V3.3.4.3.4	Le nid d'abeilles dodécaédrique rhombique est un exemple de nid d'abeilles isoédrique (et isochore) remplissant l'espace.	Carrelage carré topologique.

Classes d'isoèdres par symétrie

Faces	config. des faces	Classe	Nom	Symmétrie	Ordre	Convexe	Coplanaire	Non convexe
4	V33	Platonique	tétraèdre tétraèdre équiface disphénoïde rhombique	Td, [3,3], (*332) D2d, [2+,2], (2*) D2, [2,2]+, (222)	24 4 4 4
6	V34	Platonique	cube Trapézoèdre trigonal Trapézoèdre trigonal asymétrique	Oh, [4,3], (*432) D3d, [2+,6] (2*3) D3 [2,3]+, (223)	48 12 12 6
8	V43	Platonique	octaère bipyramide carré bipyramide rhombique scalénoère carré	Oh, [4,3], (*432) D4h,[2,4],(*224) D2h,[2,2],(*222) D2d,[2+,4],(2*2)	48 16 8 8
12	V35	Platonique	dodécaère régulier pyritoère tétartoide	Ih, [5,3], (*532) Th, [3+,4], (3*2) T, [3,3]+, (*332)	120 24 12
20	V53	Platonique	isocaère régulier	Ih, [5,3], (*532)	120
12	V3.62	Catalan	triakitétraèdre	Td, [3,3], (*332)	24
12	V(3.4)2	Catalan	dodécaèdre rhombique dodécaère trapézoidal	Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332)	48 24
24	V3.82	Catalan	triakioctaèdre	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V4.62	Catalan	tétrakihexaèdre	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V3.43	Catalan	icositétraèdre trapézoïdal	Oh, [4,3], (*432)	48
48	V4.6.8	Catalan	hexakioctaèdre	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V34.4	Catalan	icositétraèdre pentagonal	O, [4,3]+, (432)	24
30	V(3.5)2	Catalan	triacontaèdre rhombique	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V3.102	Catalan	triaki-icosaèdre	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V5.62	Catalan	pentakidodécaèdre	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V3.4.5.4	Catalan	hexacontaèdre trapézoïdal	Ih, [5,3], (*532)	120
120	V4.6.10	Catalan	hexaki-icosaèdre	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V34.5	Catalan	hexacontaèdre pentagonal	I, [5,3]+, (532)	60
2n	V33.n	Polaire	antidiamant antidiamant asymétrique	Dnd, [2+,2n], (2*n) Dn, [2,n]+, (22n)	4n 2n
2n 4n	V42.n V42.2n V42.2n	Polaire	bipyramide n-régulière 2n-bipyramide isotoxal 2n-scalénoère	Dnh, [2,n], (*22n) Dnh, [2,n], (*22n) Dnd, [2+,2n], (2*n)	4n

Termes connexes

Une figure est isochore est un n-polytope (n > 3) ou un nid d'abeilles dont les cellules sont congruentes et transitives les unes avec les autres. En 4 dimensions, les polytopes isochores ont été dénombrés jusqu'à 20 cellules^[4].

Une figure isotopiques est un polytope à n dimensions ou un nid d'abeilles, avec ses facettes ((n−1)- faces) congruentes et transitives. Le dual d'un isotope est un polytope isogonal.