Tétraèdre équifacial

En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre (non plan) dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur.

Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des XIX^e et XX^e siècles^[1].

Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes.

Propriétés

Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées), qui sont aussi les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) , et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre^[1].

Patron du tétraèdre équifacial.

Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°.

Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial ${\displaystyle ABCD}$ ont trois valeurs ${\displaystyle a=BC=AD,b=AC=BD,c=AB=CD}$, et les angles des faces, trois valeurs ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, angles en ${\displaystyle A,B,C}$ de la face ${\displaystyle ABC}$.

D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet, ${\displaystyle \alpha <\beta +\gamma =\pi -\alpha }$, donc ${\displaystyle \alpha <\pi /2}$ : les angles des faces sont strictement aigus ^[2],[3].

Son parallélépipède circonscrit ${\displaystyle ABCDA'B'C'D'}$(dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.

Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. ${\displaystyle A'}$ a pour coordonnées barycentriques ${\displaystyle (-1,1,1,1)}$ dans ${\displaystyle (A,B,C,D)}$, et ainsi de suite.

Le carré de la longueur du côté ${\displaystyle [AB']}$ de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant ${\displaystyle [AB]}$ à ${\displaystyle [CD]}$ dans le tétraèdre, est ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=ab\cos \gamma >0}$ ; on obtient les autres par permutations ^[4]. Ceci confirme que les angles sont aigus.

L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ et de longueurs de côtés ${\displaystyle 2a,2b,2c}$, divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.

Caractérisations

Un tétraèdre (non plan) est équifacial si et seulement si ^[5],[6]:

• les faces sont semblables
• les faces sont isométriques
• les faces ont le même périmètre
• les faces ont la même aire ^[2],[5],[3]
• les arêtes opposées sont de même longueur
• son parallélépipède circonscrit est rectangle^[3]
• Les bimédianes sont perpendiculaires aux arêtes qu'elles relient^[3]
• les perpendiculaires communes à deux arêtes opposées sont deux à deux perpendiculaires
• le centre de la sphère circonscrite et le centre de gravité des sommets coïncident
• le centre de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite coïncident
• les défauts angulaires des quatre sommets (${\displaystyle 2\pi }$ moins la somme des mesures des angles des faces adjacentes) sont égaux à ${\displaystyle \pi }$.

Un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est équifacial, orthocentrique ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales ^[7],[8],[9].

Les tétraèdres équifaciaux sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes, et toutes les géodésiques fermées sont non auto-sécantes ^[10].

Formules métriques

La sphère circonscrite a pour rayon^[11]:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}}}}$

La sphère inscrite a pour rayon^[11]:

${\displaystyle r^{2}=R^{2}-R'^{2}}$ avec ${\displaystyle R'={\frac {abc}{4S}}}$

où ${\displaystyle R'}$ est le rayon des cercles circonscrits aux faces et ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$ l'aire de n'importe quelle face, donnée par la formule de Héron.

La longueur commune des quatre hauteurs est égale à ${\displaystyle 4r}$ ^[11].

Le volume d'un tétraèdre équifacial d'arêtes opposées de longueurs a, b, c est donné par ^[11]

${\displaystyle V={\frac {4rS}{3}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})}{8}}}={\frac {1}{3}}abc{\sqrt {\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}.}$

On en déduit la relation intéressante suivante reliant le volume et le rayon de la sphère circonscrite :

${\displaystyle \displaystyle 16S^{2}R^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}+9V^{2}.}$

Articles connexes

• le tétraèdre orthocentrique
• le tétraèdre trirectangle
• le disphénoïde adouci, solide de Johnson à 12 faces triangulaires équilatérales et une symétrie D_2d .