Relation d'Amoroso-Robinson

La relation d'Amoroso-Robinson, tenant son nom des économistes Luigi Amoroso et Joan Robinson, décrit la relation entre prix, revenu marginal et élasticité de la demande : ${\displaystyle R_{m}=p\times \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right),}$

où :

• ${\displaystyle R_{m}}$ est le revenu marginal,
• ${\displaystyle x}$ est une quantité de bien,
• ${\displaystyle p}$ est le prix de ce bien,
• ${\displaystyle \varepsilon _{x,p}}$ est l'élasticité-prix de la demande.

Démonstration

On note ${\displaystyle p(x_{i})}$ le prix d'un bien et ${\displaystyle x_{i}}$ la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total ${\displaystyle R_{t}(x_{i})=x_{i}.p(x_{i})}$. On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : ${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i})+x_{i}.p'(x_{i})}$. En factorisant dans le membre de droite, on obtient :

$${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i})\times {\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}\cdot p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}.}$$

En notation de Leibniz, on a : ${\displaystyle {\dfrac {x_{i}\times p'(x_{i})}{p(x_{i})}}=p'(x_{i})\times {\dfrac {x_{i}}{p}}={\dfrac {dp}{dx_{i}}}\times {\dfrac {x_{i}}{p}}}$

En exprimant ${\displaystyle x_{i}}$ en fonction de la demande que l'on note ${\displaystyle D_{i}}$, on obtient : ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}\times p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {dp}{dD_{i}}}\times {\dfrac {D_{i}}{p}}}$.

On exprime désormais l'élasticité-prix ${\displaystyle \varepsilon _{x,p}}$ du prix ${\displaystyle p(x_{i})}$ de la demande ${\displaystyle D_{i}}$ par ${\displaystyle \varepsilon _{x},p={\dfrac {dD_{i}}{dp}}\times {\dfrac {p}{D_{i}}}}$. On remarque alors que ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}\times p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{x},p}}}$.

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité est strictement négative : ${\displaystyle \varepsilon _{x,p}<0}$, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}\times p'(D_{i})}{p(D_{i})}}=-{\dfrac {1}{|\varepsilon _{x},p|}}}$.

Finalement, on a bien : $${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i})\times {\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}\times p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}=p(x_{i})\times \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)}$$d'où $${\displaystyle R_{m}=p\times \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right).}$$

Notes et références

Bibliographie

• (en) Joan Robinson, « Imperfect Competition and Falling Supply Price », The Economic Journal, vol. 42, n^o 168,‎ 1932, p. 544-554 (DOI 10.2307/2223779, JSTOR 2223779)
• (en) Ernst Lykke Jensen, « Extensions of Amoroso-Robinson's Formula », Management Science, vol. 13, n^o 9,‎ 1^er mai 1967, p. 712-722 (DOI 10.1287/mnsc.13.9.712, lire en ligne)
• Walter Nicholson, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, Thomson/South-Western, 2005, 385-414 p. (ISBN 0-324-27086-0)

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