Relations entre coefficients et racines

Un polynôme ${\displaystyle P}$ de degré ${\displaystyle n}$ sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale :

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\,}$

portrait de François Viète.

où ${\displaystyle a_{i}}$ est appelé coefficient de ${\displaystyle X^{i}}$.

Si ${\displaystyle P}$ est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de ${\displaystyle x}$ qui annulent ${\displaystyle P}$^[1]. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré ${\displaystyle n}$ à coefficients complexes admet exactement ${\displaystyle n}$ racines sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$, éventuellement multiples (sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme ${\displaystyle P}$ à coefficients complexes peut se réécrire :

${\displaystyle P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$,

avec ${\displaystyle x_{i}}$ les racines de ${\displaystyle P}$, éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète

Polynômes symétriques

On définit le ${\displaystyle k}$-ième polynôme symétrique à ${\displaystyle n}$ indéterminées, noté ${\displaystyle \sigma _{k}}$, comme la somme de tous les produits à ${\displaystyle k}$ facteurs de ses indéterminées. (Il y a ${\displaystyle {n \choose k}}$ tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$ sont :

${\displaystyle \sigma _{0}=1}$,

${\displaystyle \sigma _{1}=w+x+y+z}$,

${\displaystyle \sigma _{2}=wx+wy+wz+xy+xz+yz}$,

${\displaystyle \sigma _{3}=wxy+wyz+xyz+xzw}$,

${\displaystyle \sigma _{4}=wxyz}$.

Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques ${\displaystyle \sigma _{1}\cdots \sigma _{n}}$ à ${\displaystyle n}$ indéterminées,

${\displaystyle \sigma _{0}(x_{1},\cdots x_{n})=1}$,

${\displaystyle \sigma _{1}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$,

${\displaystyle \sigma _{2}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{1},\cdots x_{n})=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$.

Théorème

Soient ${\displaystyle P=\sum _{j=0}^{n}a_{j}X^{j}}$ un polynôme scindé de degré ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ses ${\displaystyle n}$ racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout ${\displaystyle k\in [\![0;n]\!]}$,

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

ce qui peut encore s'écrire

${\displaystyle a_{k}=a_{n}(-1)^{n-k}\sigma _{n-k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

Ces relations se prouvent en développant le produit ${\displaystyle P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$, et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}}$.

Exemples

• Cas ${\displaystyle n=2}$. Soient ${\displaystyle P=aX^{2}+bX+c}$ et ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ses racines. Alors^[2],

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

• Cas ${\displaystyle n=3}$. Soient ${\displaystyle P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$ et ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ses racines. Alors^[3],

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$.

Sommes de Newton

Exemple introductif

On se donne le polynôme ${\displaystyle P=X^{3}+2X^{2}+3X+4}$ avec ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ses racines. On veut déterminer la somme ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)}$,

si bien que, d'après les relations de Viète :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(-2)^{2}-2\cdot 3=-2}$.

Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose ${\displaystyle s_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}$, où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les racines de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{0}}$ (en particulier, ${\displaystyle s_{0}=n}$). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement^[4] que, pour ${\displaystyle d\leq n}$ :

${\displaystyle a_{n}s_{1}+a_{n-1}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{2}+a_{n-1}s_{1}+2a_{n-2}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{3}+a_{n-1}s_{2}+a_{n-2}s_{1}+3a_{n-3}=0}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{n}s_{d}+a_{n-1}s_{d-1}+\ldots +a_{n-d+1}s_{1}+da_{n-d}=0}$.

Continuité des racines

En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application ${\displaystyle F:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ définie par :

${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})=(-\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,(-1)^{n}\sigma _{n})}$

où les ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$. ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})}$ donne la liste des coefficients du polynôme unitaire ${\displaystyle (X-z_{1})\cdots (X-z_{n})}$ (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. ${\displaystyle F}$ est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de ${\displaystyle F}$ conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de ${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n}){\mathcal {R}}(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff F(z_{1},\dots ,z_{n})=F(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff \exists \varphi \in {\mathfrak {S}}_{n},\forall i,z_{i}'=z_{\varphi (i)}}$

où ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ est le groupe symétrique sur l'ensemble ${\displaystyle \{i,\dots ,n\}}$ des indices. Notons ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. ${\displaystyle F}$ se factorise sous la forme ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \pi }$, où ${\displaystyle \pi }$ est la projection canonique de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$, et ${\displaystyle {\overline {F}}}$ l'application de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ qui, à une classe d'équivalence représentée par ${\displaystyle (z_{1}\cdots ,z_{n})}$ associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que ${\displaystyle {\overline {F}}}$ est un homéomorphisme entre l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ des coefficients du polynôme^[5].