Sous-groupe de Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

portrait de Philip Hall

Définition

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe fini. Un sous-groupe de ${\displaystyle G}$ est appelé un sous-groupe de Hall de ${\displaystyle G}$ si son ordre est premier avec son indice dans ${\displaystyle G}$. Autrement dit, un sous-groupe ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle G}$ est dit sous-groupe de Hall si ${\displaystyle |H|}$ est premier avec ${\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}}$. Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de ${\displaystyle |H|}$, la puissance à laquelle p figure dans ${\displaystyle |H|}$ est la même que celle à laquelle il figure dans ${\displaystyle |G|}$.

Propriétés

• Si ${\displaystyle H}$ est un sous-groupe de Hall normal de ${\displaystyle G}$ alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de ${\displaystyle G}$ et est donc caractéristique dans ${\displaystyle G}$^[1].

Démonstration

Soient ${\displaystyle r}$ l'ordre de ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle s}$ son indice dans ${\displaystyle G}$. Pour tout élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle G}$ tel que ${\displaystyle x^{r}=1}$, l'image canonique ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$ dans le groupe quotient ${\displaystyle G/H}$ vérifie ${\displaystyle y^{r}=1}$. Comme ce quotient est un groupe d'ordre ${\displaystyle s}$ premier avec ${\displaystyle r}$, ceci entraîne que ${\displaystyle y=1}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle H}$. Ainsi, ${\displaystyle H}$ comprend tout élément x de ${\displaystyle G}$ tel que ${\displaystyle x^{r}=1}$, donc ${\displaystyle H}$ contient tout sous-groupe d'ordre r de ${\displaystyle G}$. Puisque ${\displaystyle H}$ est lui-même d'ordre r, il est donc le seul sous-groupe d'ordre r de ${\displaystyle G}$ et est donc caractéristique dans ${\displaystyle G}$.

• Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
• P. Hall a prouvé^[2] que pour tout groupe fini ${\displaystyle G}$ :
  • si ${\displaystyle G}$ est résoluble alors, pour tous ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ premiers entre eux tels que ${\displaystyle |G|=mn}$^[3],[4],[5] :
    1. il existe au moins un sous-groupe d'ordre ${\displaystyle m}$,
    2. les sous-groupes d'ordre ${\displaystyle m}$ sont conjugués deux à deux,
    3. tout sous-groupe dont l'ordre divise ${\displaystyle m}$ est inclus dans l'un d'entre eux ;
  • une réciproque forte du point 1^[6],[7] : pour que ${\displaystyle G}$ soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice ${\displaystyle p_{i}^{\alpha _{i}}}$ pour chaque valeur de ${\displaystyle i}$, où ${\displaystyle p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ désigne la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle |G|}$.

Exemple

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pⁿ, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pⁿ divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.