Test de Bartlett

En statistique, le test de Bartlett du nom du statisticien anglais Maurice Stevenson Bartlett (18 juin 1910 – 8 janvier 2002) est utilisé en statistique pour évaluer si k échantillons indépendants sont issus de populations de même variance (condition dite d'homoscédasticité). C'est un test paramétrique.

Test de Bartlett

Type	Test statistique, concept mathématique (en)
Nommé en référence à	Maurice Stevenson Bartlett

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Tout comme le test de Fisher, le test d'égalité des variances de Bartlett s'effondre totalement dès que l'on s'écarte, même légèrement, de la distribution gaussienne^[1],[2]. Cependant, le test de Levene et le test de Brown-Forsythe sont plus robustes, c'est-à-dire moins sensibles aux écarts par rapport à l'hypothèse de normalité, et sont des alternatives crédibles au test de Bartlett et au test de Fisher^[3].

Formalisation

Le test de Bartlett est utilisé pour évaluer l'hypothèse nulle, H₀, d'après laquelle les variances de k échantillons tirés sont identiques, contre l'hypothèse alternative, H1, qu'au moins deux d'entre elles sont différentes.

Soit k échantillons de taille ${\displaystyle n_{i}}$ et de variances empiriques ${\displaystyle S_{i}^{2}}$, alors la statistique de test est telle que :

${\displaystyle X^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}}$

où ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ et ${\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}}$ est l'estimation globale de la variance.

Sous l'hypothèse nulle, le test statistique suit approximativement une loi du ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$. Le critère du test est tel que l'hypothèse nulle est rejetée si ${\displaystyle X^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}}$,

où ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$ est la valeur critique limite supérieure de la distribution ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$.

Généralisation du test de Bartlett