Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

Le théorème d'Euler, tirant son nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝⁿ et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : C → ℝ^m différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée^[1] :

${\displaystyle \forall x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C,\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)=kf(x)}$.

Généralisation

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$), ${\displaystyle C}$ un cône de ${\displaystyle E}$ et k un élément de K.

Une fonction différentiable ${\displaystyle f:C\to F}$ est positivement homogène de degré ${\displaystyle k}$ si et seulement si^[2] :

${\displaystyle \forall x\in C\quad \mathrm {d} f_{x}(x)=kf(x)}$.