Théorème de Leibniz

Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :

Soient dans le plan euclidien deux points A et B. On considère le lieu des points M tels que a AM² + b BM² = cste. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b). Alors le lieu, s'il est non vide, est un cercle de centre G.

Démonstration

On développe l'équation en introduisant G.

${\displaystyle aAM^{2}+bBM^{2}=a(AG+GM)^{2}+b(BG+GM)^{2}=(aAG^{2}+bBG^{2})+2(aAG+bBG)\cdot GM+(a+b)GM^{2}=(aAG^{2}+bBG^{2})+(a+b)GM^{2}}$

L'égalité se réduit donc à (a+b)GM² = cste, qui doit être positive.

Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.

Le théorème se généralise aisément à un n-uplet de points.

Rapport avec l'analysis situs

Leibniz, dans sa Caractéristique géométrique, représente l'écriture du cercle de la manière suivante : ABC γ ABY qui peut se lire « ABC pareil que ABY ». Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B ? On peut traduire encore de cette manière : AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B — distances égales).