Transformation complexe

La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Principe

À une grandeur g(t), fonction sinusoïdale du temps d'expression :

${\displaystyle g(t)={\widehat {G}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )\,}$,

on fait correspondre un nombre complexe : ${\displaystyle {\underline {G}}\,}$ de module G et d'argument φ. En notant j l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit

${\displaystyle {\underline {G}}=\ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$,

Remarque^{[réf. nécessaire]} : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

${\displaystyle {\underline {G}}=\ G(t)\cdot {\rm {e}}^{j\varphi }\,}$, avec : ${\displaystyle \ G(t)=\ G\cdot {\rm {e}}^{j\omega t}\,}$,

Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

${\displaystyle G={\frac {\hat {G}}{\sqrt {2}}}\,}$

Opérations élémentaires

• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

• Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

${\displaystyle {\underline {G}}=\ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$,

on obtient :

${\displaystyle \omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi +{\frac {\pi }{2}}\right)}\,}$ ou encore ${\displaystyle j\omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$

• Intégration

On intègre le nombre complexe image et on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)}\,}$, ou encore ${\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)

Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :

${\displaystyle g(t)={\widehat {G}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )\,}$,

On note ${\displaystyle {\underline {g}}}$ un nombre complexe associé à g(t) égal à :

${\displaystyle {\underline {g}}=\ G\cdot e^{j\varphi }\cdot {\rm {e}}^{j\omega t}}$

• ${\displaystyle |{\underline {g}}|}$ est égal à la valeur efficace de g,
• ${\displaystyle \operatorname {arg} ({\underline {g}})}$ est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).

Le terme ${\displaystyle \ G\cdot {\rm {e}}^{j\varphi }}$ est appelée amplitude complexe^[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme e^{j ω t} est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que ${\displaystyle g(t)=\Re ({\underline {g}})}$. ${\displaystyle {\underline {g}}}$ est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de ${\displaystyle g(t)}$. Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.