Factorización
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemáticas, a factorización consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios factores, normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, 3 × 5 é un factorización do enteiro 15, e (x – 2)(x + 2) é un factorización do polinomio x2 – 4.
A factorización non se adoita a considerar en tanto a estar a traballar dentro de sistemas de número que posúen división, como os números reais ou complexos, xa que calquera pode ser trivialmente escrito como se non é cero ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se se escribe un número racional ou unha función racional en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.
Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito baséase o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.
A factorización de polinomios tamén foi estudada ao longo dos séculos. En álxebra xeral, factorizar un polinomio é reducir o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. No caso dos polinomios con coeficientes enteiros ou pertencentes a un corpo, estes posúen a propiedade da factorización única, unha versión do teorema fundamental da aritmética na que os polinomios irredutíbeis substituíron os números primos. En particular, un polinomio dunha variable cos coeficientes complexos admite unha única (sen ter en conta a orde) factorización en polinomios lineares: isto é unha versión do teorema fundamental da álxebra. Neste caso, a factorización pode ser feita cos algoritmos de atopar raíces.
Un anel conmutativo posúe a propiedade de factorización única é chamada dominio de factorización única. Malia de existir aneis de enteiros alxébrico que non son dominios de factorización única, estes satisfán a propiedade máis débil dominios de Dedekind: factorización única de ideais en ideais primos.
O termo factorización tamén fai referencia a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático no produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizada como unha composición dunha función sobrexectiva cunha función inxectiva. As matrices posúen moitas clases de factorizacións. Por exemplo, cada matriz ten unha única factorización LUP como produto dunha matriz triangular inferior L, con tódalas entradas diagonais iguais a un, unha matriz triangular superior U, e unha matriz permutación P, e esta é unha formulación de matriz de eliminación de Gauss.