Teoría da representación
From Wikipedia, the free encyclopedia
A teoría da representación é unha rama das matemáticas que estudas as estruturas alxébricas abstractas representando os seus elementos como transformación lineares de espazos vectoriais e estuda os módulos sobre esas estruturas.[1] En esencia, unha representación converte un obxecto alxébrico abstracto nun ente máis concreto describindo os seus elementos mediante matrices e as súas operacións en termos de suma e produto de matrices. Os obxectos alxébricos que poden ter estas descricións inclúen os grupos, as álxebras asociativas e a álxebra de Lie. O primeiro e máis destacado destes obxectos é a teoría de representación de grupo, na que os elementos dun grupo se representan mediante matrices invertibles de xeito que a operación do grupo é a multiplicación de matrices.[2]
A teoría da representación é un método útil porque reduce problemas da álxebra abstracta a problemas da álxebra linear, materia ben coñecida.[3] Ademais, o espazo vectorial no que un grupo se representa pode ser infinito-dimensional, permitindo por exemplo que for un espazo de Hilbert, e poden aplicarse logo métodos da análise matemática.[4] A teoría da representación tamén é importante na Física porque por exemplo describe como un grupo de simetría dun sistema físico afecta as solucións das ecuacións que describen o sistema.[5]
A teoría da representación aparece en varios campos das matemáticas por dúas razóns. Primeiro, as aplicacións da teoría son variadas:[6] Ademais do seu impacto na álxebra a teoría da representación:
- aclara e xeneraliza a análise de Fourier a través da análise harmónica,[7]
- conecta coa xeometría mediante a teoría dos invariantes e o programa Erlangen,[8]
- ten impacto na teoría de números a través das formas automórficas e o programa Langlands.[9]
En segundo lugar, hai diferentes aproximacións á teoría da representación. Os mesmos obxectos poden estudarse empregando métodos da xeometría alxébrica, a teoría de módulos, a teoría de módulos analítica, a xeometría diferencial, a teoría dos operadores, a combinatoria alxébrica e a topoloxía.[10]
O éxito da teoría da representación deu lugar a numerosas xeneralizacións. Unha das máis xerais é a teoría das categorías[11] Os obxectos alxébricos sobre os que se aplica a teoría poden ser vistos como tipos particulares de categoría e as representacións como funtores da categoría dos obxectos á categoría dos espazos vectoriais. Isto apunta a dúas xeneralizacións obvias: primeiro, os obxectos alxébricos poden substituírse por categorías máis xerais; segundo, a categoría obxectivo dos espazos vectoriais pode substituírse por outras categorías máis coñecidas.