Anel noetheriano

En matemáticas, un anel noetheriano é un anel que satisfai a condición de cadea ascendente para os ideais pola esquerda e pola dereita. Se a condición de cadea é satisfeita só para os ideais pola esquerda ou para os ideais pola dereita, entón o anel é chamado noetheriano pola esquerda ou noetheriano pola dereita, respectivamente. Formalmente, cada sucesión crecente ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$ de ideais pola esquerda (ou pola dereita) ten un elemento máximo; isto é, existe un ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

Anel noetheriano
Subclase de anel coherente módulo noetheriano
Epónimo Emmy Noether
Fórmula ${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots \Rightarrow \exists k.\forall k'\geq k.I_{k}=I_{k'}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ (ideal)
Caracterizado por condición da cadea ascendente
Identificadores
MathWorld	NoetherianRing
OpenAlex	C2777726979
[ Wikidata ]

Equivalentemente, un anel é noetheriano pola esquerda (respectivamente noetheriano pola dereita) se cada ideal pola esquerda (resp. ideal pola dereita) é finitamente xerado. Un anel é noetheriano se o é tanto pola esquerda como pola dereita.

Os aneis noetherianos son fundamentais na teoría de aneis, tanto commutativos como non commutativos, xa que moitos aneis que se aparecen en matemáticas son noetherianos (en particular o anel dos enteiros, os aneis de polinomios, e os aneis de enteiros alxébricos nos corpos de números. Ademais, moitos teoremas xerais sobre aneis apoianse fortemente na propiedade noetheriana (por exemplo, o teorema de Lasker–Noether e o teorema de intersección de Krull.

Os aneis noetherianos son nomeados así en homenaxe a Emmy Noether, mais a importancia do concepto foi recoñecida antes por David Hilbert, coa proba de teorema da base de Hilbert (que afirma que os aneis de polinomios son noetherianos) e o teorema das sizixias de Hilbert.

Exemplos

• Todo corpo, incluíndo os corpos dos números racionais, números reais e números complexos, é noetheriano (un corpo só ten dous ideais: el mesmo e ${\displaystyle 0}$.
• Todo anel principal, como os enteiros, é noetheriano xa que todo ideal está xerado por un único elemento. Isto inclúe os dominios principais de ideais e os dominios euclidianos.
• Un dominio de Dedekind (p. ex., os aneis de enteiros) é un dominio noetheriano no que todo ideal se xera con, como moito, dous elementos.
• O anel coordenado dunha variedade afín é un anel noetheriano, como consecuencia do teorema da base de Hilbert.
• A álxebra envolvente U dunha álxebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de dimensión finita é un anel noetheriano tanto á esquerda coma á dereita; isto segue do feito de que o anel graduado asociado de U é un cociente de ${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$, que é un anel de polinomios sobre un corpo (o teorema PBW); polo tanto, é noetheriano.^[1]

Polo mesmo motivo, o anel de Weyl e, en xeral, os anelos de operadores diferenciais, son noetherianos.^[2]

• O anel de polinomios cun número finito de variables sobre os enteiros ou sobre un corpo é noetheriano.

Os aneis que non son noetherianos adoitan ser (dalgunha maneira) moi grandes. Aquí van algúns exemplos de anelos non noetherianos:

• O anel de polinomios cun número infinito variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$. A sucesión de ideais ${\displaystyle (X_{1}),(X_{1},X_{2}),(X_{1},X_{2},X_{3}),\dots }$ é crecente e non termina nunca.
• O anel de todos os enteiros alxébricos non é noetheriano. Por exemplo, contén a cadea ascendente infinita de ideais principais: ${\displaystyle (2),(2^{1/2}),(2^{1/4}),(2^{1/8}),\dots }$
• O anel de funcións continuas de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ non é noetheriano: sexa ${\displaystyle I_{n}}$ o ideal de todas as funcións continuas ${\displaystyle f}$ tales que ${\displaystyle f(x)=0}$ para todo ${\displaystyle x\geq n}$. A sucesión de ideais ${\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\dots }$ é crecente e non termina.
• O anel dos grupos de homotopía estables das esferas non é noetheriano.^[3]

Porén, un anel non noetheriano pode ser un subanel dun anel noetheriano. Como todo dominio de integridade é subanel dun corpo, calquera dominio de integridade que non sexa noetheriano fornece un exemplo. Para dar un exemplo menos trivial:

• O anel de funcións racionais xerado por ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y/x^{n}}$ sobre un corpo ${\displaystyle k}$ é un subanel do corpo ${\displaystyle k(x,y)}$ en só dúas variables.

De feito, existen aneis que son noetherianos á dereita pero non á esquerda, polo que hai que ter coidado ao medir o “tamaño” dun anel deste xeito. Por exemplo, se ${\displaystyle L}$ é un subgrupo de ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, sexa ${\displaystyle R}$ o anel de homomorfismos ${\displaystyle f:\mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q} ^{2}}$ que cumpren ${\displaystyle f(L)\subset L}$. Elixindo unha base, podemos describir o mesmo anel ${\displaystyle R}$ como

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\;\right|\;a\in \mathbf {Z} ,\,\beta \in \mathbf {Q} ,\,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Este anel é noetheriano á dereita, pero non á esquerda; o subconxunto ${\displaystyle I\subset R}$ formado polos elementos con ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle \gamma =0}$ é un ideal á esquerda que non é finitamente xerado como ${\displaystyle R}$-módulo á esquerda.

Se ${\displaystyle R}$ é un subanel conmutativo dun anel ${\displaystyle S}$ noetheriano á esquerda, e ${\displaystyle S}$ é finitamente xerado como ${\displaystyle R}$-módulo á esquerda, entón ${\displaystyle R}$ é noetheriano.^[4] (No caso especial en que ${\displaystyle S}$ é conmutativo, isto coñécese como o teorema de Eakin.) Porén, isto non é certo se ${\displaystyle R}$ non é conmutativo: o anel ${\displaystyle R}$ do parágrafo anterior é un subanel do anel noetheriano á esquerda ${\displaystyle S=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ^{2},\mathbb {Q} ^{2})}$, e ${\displaystyle S}$ é finitamente xerado como ${\displaystyle R}$-módulo á esquerda, mais ${\displaystyle R}$ non é noetheriano á esquerda.

Un dominio de factorización única non é necesariamente un anel noetheriano. Cumpre unha condición máis débil: a condición de cadea ascendente sobre ideais principais. O anel de polinomios en infinitamente moitas variables é un exemplo dun dominio de factorización única que non é noetheriano.

Un anel de valoración non é noetheriano agás que sexa un anel principal. Fornece un exemplo dun anel que xorde de xeito natural en xeometría algebraica pero que non é noetheriano.