Ata (matemáticas)

Dous obxectos matemáticos a e b chámanse "iguais ata unha relación de equivalencia R" (abreviado como ata R ou até R ou salvo R) se cumpren:

• que a e b están relacionados por R, é dicir,
• que aRb se cumpre, é dicir,
• que as clases de equivalencia de a e b en relación a R son iguais.

Arriba: dado un conxunto de vértices de hexágonos hai 20 particións que teñen un subconxunto de tres elementos (verde) e tres subconxuntos dun só elemento (sen cor). Abaixo: Deles, hai 4 particións ata a rotación e 3 particións ata a rotación e reflexión.

Esta figura da linguaxe utilízase sobre todo en relación con expresións derivadas da igualdade, como a unicidade ou a contaxe.

Por exemplo, a afirmación "a factorización en primos dun número enteiro é única ata a ordenación" é unha forma concisa de dicir que dúas listas calquera de factores primos dun número enteiro dado son equivalentes con respecto á relación R que relaciona dúas listas se unha pode obterse reordenando (permutando) a outra.^[1]

Como outro exemplo, a afirmación "a solución dunha integral indefinida é sin(x) ata a adición dunha constante" emprega tácitamente a relación de equivalencia R entre funcións, definida por fRg se a diferenza f - g é unha función constante, e significa que a solución e a función sin(x) son iguais ata esta R.

Na imaxe, "hai 4 particións ata a rotación" significa que o conxunto P ten 4 clases de equivalencia en relación a R definidas por aRb se b pode obterse de a por rotación; un representante de cada clase aparece na parte inferior esquerda da imaxe.

Outros exemplos inclúen ata isomorfismo, ata permutacións e ata rotacións.

Exemplos

Tetris

Pezas de Tetris I, J, L, O, S, T, Z

Considere as sete pezas do Tetris (I, J, L, O, S, T, Z), coñecidas matematicamente como tetrominós. Se consideramos todas as rotacións posíbeis destas pezas, por exemplo, se consideramos que o "I" orientado verticalmente é distinto do "I" orientado horizontalmente, entón descubrimos que hai 19 formas posíbeis distintas que se mostrarán na pantalla. (Estes 19 son os chamados tetrominós "fixos".) Pero se as rotacións non se consideran distintas, de xeito que tratamos "I verticalmente" e "I horizontalmente" de xeito indiferente como "I", daquela só hai sete. Dicimos que "son sete tetrominós ata a rotación". Tamén se podería dicir que "hai cinco tetrominós, ata a rotación e a reflexión", o que explica o feito de que L reflectido dá J, e S reflectido dá Z.