Atractor de Lorenz

O Atractor de Lorenz foi introducido por Edward Lorenz en 1963, que o derivou a partir das ecuacións simplificadas dos rolos de convección que ocorren nas ecuacións da atmosfera. É un mapa caótico que mostra como o estado dun sistema dinámico evoluciona no tempo nun patrón complexo, non-repetitivo.

A traxectoria do sistema de Lorenz para valores de ρ=28, σ = 10, β = 8/3

Trátase dun sistema non-lineal, tridimensional e determinístico que exhibe un comportamento caótico e demostra o que hoxe en día se chama un atractor estraño.

O sistema aparece, por exemplo, en láseres, en xeradores eléctricos e en determinadas rodas de auga ^[1].

As ecuacións que gobernan o Atractor de Lorenz son:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y}$

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z}$

onde a ${\displaystyle \sigma }$ se chama o número de Prandtl e a ${\displaystyle \rho }$ se chama o número de Rayleigh. Todos os ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \beta }$ > 0, aínda que usualmente ${\displaystyle \sigma }$ = 10, ${\displaystyle \beta }$ = 8/3, en canto ${\displaystyle \rho }$ varía. O sistema exibe comportamento caótico para ${\displaystyle \rho }$ = 28 mais ten órbitas periódicas para outros valores de ${\displaystyle \rho }$.

O efecto bolboreta no atractor de Lorenz

O efecto bolboreta
Tempo t=1 (maior)	Tempo t=2 (maior)	Tempo t=3 (maior)
Estas figuras — feita usando ρ=28, σ = 10 and β = 8/3 — mostran tres segmentos temporais da evolución 3-D no atractor de Lorenz de dúas traxectorias (unha a azul, a outra a amarelo), comezando en dous puntos iniciais que difiren só en 10-5 na coordenada x. Inicialmente, as dúas traxectorias parecen coincidir (só se vendo a amarela, por estar deseñada sobre a azul) mais, ao cabo dalgún tempo, a diverxencia é obvia.
Unha animación Java do atractor de LorenzArquivado 20 de decembro de 2007 en Wayback Machine. mostra a evolución continua.

Usando valores diferentes para o número de Rayleigh

O atractor de Lorenz para valores diferentes de ρ
ρ=14, σ=10, β=8/3 (maior)	ρ=13, σ=10, β=8/3 (maior)
ρ=15, σ=10, β=8/3 (maior)	ρ=28, σ=10, β=8/3 (maior)
Para valores pequenos de ρ, o sistema é estábel e evoluciona a un dos dous puntos atractores. Cando ρ é maior que 24,74, os puntos fixos tórnanse repulsores e a traxectoria é repelida por eles dun modo moi complexo, evolucionando sen nunca se cruzar sobre si mesma.
Animación Java mostrando a evolución para valores diferentes de ρArquivado 20 de decembro de 2007 en Wayback Machine.