Combinación linear

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma

${\displaystyle v=k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+...+k_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}}$

cos ${\displaystyle k_{i}}$ elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

Definición

Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}\alpha \in A\\b\in B\end{smallmatrix}}\alpha b.}$

Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

Espazos vectoriais

Dado un espazo vectorial V sobre un corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ e un conxunto ${\displaystyle \ A=\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n}\}}$ de vectores en V, é dicir, ${\displaystyle A\subset V}$, dise que un vector ${\displaystyle v\in V}$ é combinación linear de A se ${\displaystyle \exists k_{1},\dots ,k_{n}\in \mathbb {K} :v=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}}$.

En termos informais, dise que ${\displaystyle v}$ é combinación linear de vectores de ${\displaystyle A}$ se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de ${\displaystyle A}$. Neste caso, tamén se di que ${\displaystyle v}$ depende linearmente dos vectores de ${\displaystyle A}$.^[1]

Exemplos

Combinación linear de dous vectores no espazo.

1. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}20\\12\\37\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}6\\2\\9\end{pmatrix}}.}$

1. En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu ${\displaystyle \lambda v}$ é combinación linear. Para o caso particular ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}}$, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
2. Dado ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$, dicir que v é combinación linear doutros dous vectores ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
3. Na ecuación ${\displaystyle 2x+3y-2z=0}$ dise que ${\displaystyle z}$ é combinación linear de ${\displaystyle x}$ e de ${\displaystyle y}$ porque se pode escribir ${\displaystyle z=x+{\frac {3}{2}}y}$ sen máis que despexar ${\displaystyle z}$. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

Espazo xerado

Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como ${\displaystyle {\mbox{gen}}(A)}$, ao conxunto:^[2]

${\displaystyle {\mbox{gen}}(A)=\left\{v\in V|\exists a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {K} ,\exists v_{1},\dots v_{n}\in A:v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right\}}$

onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.