Vector

Un vector en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).

Vector
Instancia de	concepto xeométrico
Subclase de	vector
Parte de	espazo euclidiano
Non confundir con  Vektor (pt)
Caracterizado por  vetor diretor (pt)  comprimento de um vetor (pt)  unidirecionalidade (pt)
[ Wikidata ] [ C:Commons ]

Vector tridimensional.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un deles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Notación

Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.

Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba (${\displaystyle {\vec {a}}}$), ou simplemente en letra grosa (${\displaystyle \mathbf {a} }$). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})}$.

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$.

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}\,{\vec {i}}+a_{y}\,{\vec {j}}+a_{z}\,{\vec {k}}}$

Compoñentes dun vector

Véxase tamén: Base (álxebra linear).

Como se comentou anteriormente, un vector descríbese a miúdo por un conxunto de compoñentes vectoriais que suman para formar o vector dado. Normalmente, estes compoñentes son as proxeccións do vector nun conxunto de eixos de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Dise que o vector pode descompoñerse en relación a eses vectores base.

Ilustración das compoñentes tanxencial e normal dun vector a unha superficie.

A descomposición^[1] dun vector en compoñentes non é único, porque depende da escolla dos eixos sobre os que se proxecta o vector.

Alén diso, non é obrigatorio o uso de vectores unitarios cartesianos como ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ como base no que representar un vector. Os vectores tamén se poden expresar en termos de outra base arbitraria, incluíndo os vectores unitarios dun sistema de coordenadas cilíndrico (${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$) ou un sistema de coordenadas esféricas (${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$). As dúas últimas opcións son máis convenientes para resolver problemas que posúen simetría cilíndrica ou esférica, respectivamente.

A escolla dunha base non afecta ás propiedades dun vector nin ao seu comportamento baixo transformacións.

Un vector tamén se pode dividir en relación a vectores de base "non fixos" que mudan a súa orientación en función do tempo ou do espazo. Por exemplo, un vector no espazo tridimensional pódese descompoñer en relación a dous eixos, respectivamente normal e tanxente a unha superficie (ver figura).

Outra descomposición pode ser nunha compoñente radial e outra compoñente tanxencial que están relacionadas co raio de rotación dun obxecto. A primeira é paralela ao raio e a segunda é ortogonal a el.^[2]

Nestes casos, cada un dos compoñentes pode descompoñerse á súa vez en relación a un sistema de coordenadas fixo ou conxunto de bases (por exemplo, un sistema de coordenadas global ou sistema de referencia inercial).

Exemplo 1

Nun plano, usualmente, temos a base cos vectores unitarios do eixo x, ${\displaystyle {\vec {x}}=(1,0)}$, e do eixo y, ${\displaystyle {\vec {y}}=(0,1)}$.

O vector ${\displaystyle {\vec {v}}=(4,3)}$ pódese descompoñer como ${\displaystyle {\vec {v}}=4{\vec {x}}+3{\vec {y}}}$.

Exemplo 2

Sexa ${\displaystyle P_{3}}$ o espazo de todos os polinomios alxébricos de grao como máixmo 3 (isto é, o expoñente máis alto de x só pode ser 3). este espazo é linear e xerado polos seguintes polinomios:

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

que forman a seguinte base

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

así o vector de coordenadas correspondente ao polinomio sería

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

como vector columna

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

Segundo esa representación, o operador de diferenciación d/dx que denotamos como D estará representado pola seguinte matriz:

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Usando ese método é fácil explorar as propiedades do operador, como: invertibilidade, hermitiano ou anti-hermitiano ou ningún dos dous, espectro e eigenvalores, etc.

Propiedades

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vale 5 unidades, faise así: ${\displaystyle |{\vec {a}}|=5u}$. Expresado con fórmulas, dado un vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$ de coordenadas ${\displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})}$ o seu módulo é ${\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}$.

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectores

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: ${\displaystyle {\vec {u_{a}}}={\frac {(a_{x},a_{y},a_{z})}{|{\vec {a}}|}}}$. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$, ${\displaystyle {\hat {\jmath }}}$ e ${\displaystyle {\hat {k}}}$, sendo ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$ o vector unitario do eixe do x, ${\displaystyle {\hat {\jmath }}}$ o vector unitario do eixo y, e ${\displaystyle {\hat {k}}}$ o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a ${\displaystyle {\vec {a}}}$ é ${\displaystyle -{\vec {a}}}$.

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores

Suma de vectores

Resta de vectores

Método gráfico

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramo

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triángulo

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analítico

• A suma

Con dous vectores de coordenadas,

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$

${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})}$

o resultado da suma é:

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=[(a_{x}+b_{x}),(a_{y}+b_{y}),(a_{z}+b_{z})]}$

• A resta

Para restar dous vectores libres ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ súmase ${\displaystyle {\vec {a}}}$ co oposto de ${\displaystyle {\vec {b}}}$:

${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})}$

O resultado da resta é:

${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=[(a_{x}-b_{x}),(a_{y}-b_{y}),(a_{z}-b_{z})]}$

Módulo resultante

Dados dous vectores ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$, de módulos coñecidos e que forman o ángulo ${\displaystyle \theta }$ entre si, pódese obter o módulo ${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}$ coa seguinte fórmula:

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}$

Dedución da expresión

Sexan dous vectores ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ que forman un ángulo ${\displaystyle \theta }$ entre si:

Imaxe de vectores colocados

A fórmula para calcular ${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}$ dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

${\displaystyle OB^{2}=OC^{2}+CB^{2}}$

${\displaystyle OB=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|}$

${\displaystyle OC=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.}$

Resultando:

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}}$

No triángulo ACB :

${\displaystyle {\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}=\cos \theta }$

${\displaystyle AC=|{\vec {b}}|\cos \theta }$

${\displaystyle {\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}=sen\theta }$

${\displaystyle CB=|{\vec {b}}|sen\theta }$

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right.}$

${\displaystyle \left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta }$

${\displaystyle \left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)}$

${\displaystyle \left.\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta =1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}}$

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}$

Obtención da Dirección

Para obter os ángulos ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo ${\displaystyle \theta }$ e ter calculado ${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}$ .

Podemos usar esta fórmula:

${\displaystyle {\frac {|{\vec {b}}|}{sen\alpha }}={\frac {|{\vec {a}}|}{sen\beta }}={\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{sen\theta }}}$

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

${\displaystyle \alpha +\beta =\theta }$

Produto dun vector por un escalar

Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número ${\displaystyle n\,}$ e un vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$, o produto ${\displaystyle n\,{\vec {a}}}$ realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$

o seu produto polo escalar é

${\displaystyle n\,\mathbf {a} =(na_{x},na_{y},na_{z})}$

é dicir, multiplícase por ${\displaystyle n\,}$ cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectores

Dados os vectores ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})}$, o ángulo ${\displaystyle \theta }$ calcúlase polo seu coseno:

${\displaystyle cos\theta ={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}}$

Isto deriva do produto escalar.

Produto escalar

Artigo principal: Produto escalar.

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A sobre B.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }$

Produto vectorial

Artigo principal: Produto vectorial.

${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |=|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\sin \theta =A\,B\,\sin \theta }$