Converxencia uniforme

No campo matemático da análise, a converxencia uniforme é un modo máis forte de converxencia das funcións que a converxencia punto a punto. Unha secuencia de funcións ${\displaystyle (f_{n})}$ converxe uniformemente a unha función límite ${\displaystyle f}$ nun conxunto ${\displaystyle E}$ como dominio da función se dado calquera número positivo arbitrariamente pequeno ${\displaystyle \epsilon }$, pode atoparse un número ${\displaystyle N}$ tal que cada unha das funcións ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$difire de ${\displaystyle f}$ por non máis de ${\displaystyle \epsilon }$ en todo punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$.

Unha secuencia de funcións ${\displaystyle (f_{n})}$ converxe uniformemente a ${\displaystyle f}$ cando para pequenos arbitrarios ${\displaystyle \epsilon }$ hai un índice ${\displaystyle N}$ tal que a gráfica de ${\displaystyle f_{n}}$ está no ${\displaystyle \epsilon }$-intervalo arredor de f sempre que ${\displaystyle n\geq N.}$

O límite dunha secuencia de funcións continuas non ten por que ser continuo: a secuencia de funcións ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)}$ (marcado en verde e azul) converxe punto a punto sobre todo o dominio, pero a función límite é descontinua (marcada en vermello).

Definición

Primeiro definimos a converxencia uniforme para funcións con valores reais, aínda que o concepto se xeneraliza facilmente a funcións que mapean espazos métricos e, de xeito máis xeral, espazos uniformes (ver máis abaixo).

Supoñamos que ${\displaystyle E}$ é un conxunto e ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é unha secuencia de funcións con valores reais. Dicimos que a secuencia ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é uniformemente converxente en ${\displaystyle E}$ con límite ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ se para todo ${\displaystyle \epsilon >0,}$ existe un número natural ${\displaystyle N}$ tal que para todos os ${\displaystyle n\geq N}$ e para todos os ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

A notación para a converxencia uniforme de ${\displaystyle f_{n}}$ a ${\displaystyle f}$ non está moi estandarizado, por exemplo:

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

Con frecuencia, non se usa ningún símbolo especial e os autores simplemente escriben

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformemente} }$

Dado que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é un espazo métrico completo, o criterio de Cauchy pódese usar para dar unha formulación alternativa equivalente para a converxencia uniforme: ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converxe uniformemente en ${\displaystyle E}$ (no sentido anterior) se e só se para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe un número natural ${\displaystyle N}$ tal que

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$ .

A secuencia ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dise que é localmente uniformemente converxente co límite ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle E}$ é un espazo métrico e para todo ${\displaystyle x\in E}$, existe un ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle (f_{n})}$ converxe uniformemente en ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

Está claro que a converxencia uniforme implica a converxencia uniforme local, que implica a converxencia punto a punto.

Notas

Intuitivamente, unha secuencia de funcións ${\displaystyle f_{n}}$ converxe uniformemente a ${\displaystyle f}$ se, dado un arbitrariamente pequeno ${\displaystyle \epsilon >0}$, podemos atopar un ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ para o que as funcións ${\displaystyle f_{n}}$ con ${\displaystyle n>N}$ caian todas dentro dun "tubo" de ancho ${\displaystyle 2\epsilon }$ centrado arredor de ${\displaystyle f}$ (é dicir, entre ${\displaystyle f(x)-\epsilon }$ e ${\displaystyle f(x)+\epsilon }$ ) para todo o dominio da función.

Xeneralizacións

Pódese estender directamente o concepto ás funcións E → M, onde (M, d) é un espazo métrico, substituíndo ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ con ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$ .

A situación máis xeral é a converxencia uniforme das redes de funcións E → X, onde X é un espazo uniforme.

Exemplos

Para ${\displaystyle x\in [0,1)}$, un exemplo básico de converxencia uniforme pódese ilustrar do seguinte xeito: a secuencia ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ converxe uniformemente, mentres ${\displaystyle x^{n}}$ non. En concreto, asumimos ${\displaystyle \epsilon =1/4}$. Toda función ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ é menor ou igual a ${\displaystyle 1/4}$ cando ${\displaystyle n\geq 2}$, independentemente do valor de ${\displaystyle x}$. Por outra banda, ${\displaystyle x^{n}}$ é só menor ou igual a ${\displaystyle 1/4}$ en valores cada vez máis elevados de ${\displaystyle n}$ cando os valores de ${\displaystyle x}$ son seleccionados cada vez máis preto de 1 (explicado máis en profundidade máis abaixo).

A secuencia de funcións ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

é un exemplo clásico dunha secuencia de funcións que converxe nunha función ${\displaystyle f}$ punto a punto pero non uniformemente. Para mostrar isto, primeiro observamos que o límite punto a punto de ${\displaystyle (f_{n})}$ cando ${\displaystyle n\to \infty }$ é a función ${\displaystyle f}$, dada por

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Converxencia punto a punto: A converxencia é trivial para ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$, xa que ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ e ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$, para todos os ${\displaystyle n}$. Para ${\displaystyle x\in (0,1)}$ e dado ${\displaystyle \epsilon >0}$, podemos asegurarnos de que ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ sempre que ${\displaystyle n\geq N}$ escollendo ${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$ que é o mínimo expoñente enteiro de ${\displaystyle x}$ que lle permite chegar ou baixar por debaixo de ${\displaystyle \epsilon }$ (aquí os corchetes superiores indican o redondeo cara arriba, consulte función teito). Polo tanto, ${\displaystyle f_{n}\to f}$ punto a punto para todos os ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Teña en conta que a elección de ${\displaystyle N}$ depende do valor de ${\displaystyle \epsilon }$ e ${\displaystyle x}$. Alén diso, para unha escolla fixa de ${\displaystyle \epsilon }$, ${\displaystyle N}$ (que non se pode definir menor) medra sen límite a medida que ${\displaystyle x}$ se achega a 1. Estas observacións exclúen a posibilidade dunha converxencia uniforme.

Converxencia non uniforme: a converxencia é non uniforme, porque podemos atopar un ${\displaystyle \epsilon >0}$ para o que por grande que escollamos ${\displaystyle N,}$ haberá valores de ${\displaystyle x\in [0,1]}$ e ${\displaystyle n\geq N}$ tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$ Para ver isto, primeiro observamos que independentemente do tamaño de ${\displaystyle n}$, sempre hai un ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ tal que ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ Así, se escollemos ${\displaystyle \epsilon =1/4,}$ nunca podemos atopar un ${\displaystyle N}$ tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ para todos os ${\displaystyle x\in [0,1]}$ e ${\displaystyle n\geq N}$. Explicitamente, sexa cal sexa o candidato que escollamos ${\displaystyle N}$, consideramos o valor de ${\displaystyle f_{N}}$ en ${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$. Posto que

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

o candidato falla porque atopamos un exemplo dun ${\displaystyle x\in [0,1]}$ que "escapou" ao noso intento de "confinar" cada ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ dentro dunha distancia ${\displaystyle \epsilon }$ de ${\displaystyle f}$ para todos os ${\displaystyle x\in [0,1]}$. De feito, é fácil ver que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

contrariamente ao requisito de que ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ se ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$.

Neste exemplo pódese ver facilmente que a converxencia punto a punto non preserva a diferenciabilidade nin a continuidade. Mentres que cada función da secuencia é suave. Iso é como dicir que para todo n, ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$, o límite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$ non é continuo.

Función exponencial

Pódese demostrar que a expansión en serie da función exponencial é uniformemente converxente en calquera subconxunto limitado ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$ utilizando o test M de Weierstrass.

Teorema (test M de Weierstrass). Sexa ${\displaystyle (f_{n})}$ unha secuencia de funcións ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ e sexa ${\displaystyle M_{n}}$ unha secuencia de números reais positivos tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ para tódolos ${\displaystyle x\in E}$ e ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ Se ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ converxe, entón ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ converxe absoluta e uniformemente en ${\displaystyle E}$.

A función exponencial complexa pódese expresar como a serie:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Calquera subconxunto limitado é un subconxunto dalgún disco ${\displaystyle D_{R}}$ de raio ${\displaystyle R,}$ centrado na orixe no plano complexo. O test M de Weierstrass esixe que atopemos un límite superior ${\displaystyle M_{n}}$ nos termos da serie, con ${\displaystyle M_{n}}$ independentemente da posición no disco:

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Para iso, decatámonos de que

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

e tomamos ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Se ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ é converxente, entón o test M afirma que a serie orixinal é uniformemente converxente.

Agora podemos usar o test da razón para a sucesión de cantidades ${\displaystyle M_{n}}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

o que significa que a serie dos ${\displaystyle M_{n}}$ é converxente. Así, a serie orixinal converxe uniformemente para todos os ${\displaystyle z\in D_{R},}$ e posto que ${\displaystyle S\subset D_{R}}$, a serie tamén é uniformemente converxente en ${\displaystyle S.}$

Propiedades

• Toda sucesión uniformemente converxente é localmente uniformemente converxente.
• Toda secuencia localmente uniformemente converxente é compacta converxente.
• Para espazos localmente compactos coinciden a converxencia uniforme local e a converxencia compacta.
• Unha secuencia de funcións continuas en espazos métricos, sendo o espazo métrico da imaxe completo, é uniformemente converxente se e só se é unha sucesión uniforme de Cauchy.
• Se ${\displaystyle S}$ é un intervalo compacto (ou en xeral un espazo topolóxico compacto), e ${\displaystyle (f_{n})}$ é unha secuencia monótona crecente (significando que ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ para todas as n e x) de funcións continuas cun límite punto a punto ${\displaystyle f}$ que tamén é continua, entón a converxencia é necesariamente uniforme (teorema de Dini). Tamén se garante a converxencia uniforme se ${\displaystyle S}$ é un intervalo compacto e ${\displaystyle (f_{n})}$ é unha sucesión equicontinua que converxe punto a punto.