Conxunto finito

Intuitivamente, un conxunto é finito cando é posíbel contar os seus elementos e termina a conta.

Normalmente, dise na teoría de conxuntos que un conxunto X é finito se é baleiro ou existe un número natural n tal que X sexa bixectivo con {1, ..., n}, ou sexa, é preciso que exista unha función inxectiva e sobrexectiva con dominio X e codominio {1, ..., n} onde n non é infinito.

Esta definición ten o problema de utilizar o concepto de número natural. Unha definición alternativa, debida a Richard Dedekind, é que un conxunto X é finito se non hai un subconxunto propio ${\displaystyle Y\subset X\,}$ e unha función bixectiva ${\displaystyle f:X\to Y\,}$.^[1] Un conxunto que é finito segundo esta definición chámase Dedekind-finito (e un conxunto que ten un subconxunto propio da mesma cardinalidade chámase Dedekind-infinito).

Caracterizacións de conxuntos finitos

• Pódese demostrar que todo número natural é Dedekind-finito. Con isto, demóstrase que todo conxunto finito é Dedekind-finito.
• A inversa, porén, é máis complicada. Para demostrar que todo conxunto finito de Dedekind é finito, é necesario utilizar o axioma de escolla.