Fórmula de Stirling

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A diferenza relativa entre (ln x!) e (x ln x - x) tende a cero ao crecer x.

A aproximación exprésase como

${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n\,}$

para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.

Escrito coa notación O grande sería

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n),}$.

E a forma máis utilizada é

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Dedución

En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma

${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$

cunha integral:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$

A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar ${\displaystyle n!}$, considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente:

${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$

O lado dereito desta ecuación menos ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n}$ é a aproximación pola regra do trapecio da integral

${\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$

e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle B_{k}}$ é un número de Bernoulli, e R_m,n é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin.

Tomando límites para atopalo

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$

Denotamos este límite como ${\displaystyle y}$. Como o resto R_m,n na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai

${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$

onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica:

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$

Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo ${\displaystyle m}$, obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida ${\displaystyle e^{y}}$. Para m = 1, a fórmula é

${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

A cantidade ${\displaystyle e^{y}}$ pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que ${\displaystyle n}$ tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que ${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$. Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Dedución alternativa

Unha fórmula alternativa para ${\displaystyle n!}$ usando a función gamma é

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$

(como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis x = ny, obtense

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\ ,{\rm {d}}a.}$

Aplicando o método de Laplace tense

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},}$

co que volvemos a obter a fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Serie de Stirling e límite do erro

Como vimos na introdución a fórmula máis usada é

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

que provén de

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

que á súa vez provén máis exactamente da fórmula

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }}$

onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores (secuencia A046969 na OEIS): 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada serie de Striling^[1]

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).}$

Que ten límites superior e inferior

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n}}}$

G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie.^[2] Na OEIS aparecen outros termos(secuencia A001163 na OEIS) e (secuencia A001164 na OEIS).

Podemos ver un exemplo calculado destes límites:

${\displaystyle 29!=8841761993739701954543616000000}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...}$

${\displaystyle 29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...}$

Fórmula de Stirling para a función Gamma

Para todos os números enteiros positivos,

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$

onde Γ denota a función Gamma.

Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se Re(z) > 0, temos

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.}$

A integración por partes repetida dá

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}$

onde ${\displaystyle B_{n}}$ é o ${\displaystyle n}$-ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando ${\displaystyle N\to \infty }$ non é converxente , polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para ${\displaystyle z}$ o suficientemente grande en valor absoluto, cando |arg(z)| < π − ε, onde ε é positivo, cun termo de erro de O(z^{−2N+ 1}). Así pódese escribir a aproximación correspondente:

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),}$

onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para ${\displaystyle n!}$, excepto que ${\displaystyle n}$ substitúese por z − 1.^[3]

Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos z con constante Re(z). Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en Im(z) = t da función theta de Riemann–Siegel na liña recta 1/4 + it.

Usos

A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a ${\displaystyle N\approx 10^{23}}$ partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.