Función gamma

En matemáticas, a función gamma (denotada como ${\displaystyle \scriptstyle \Gamma (z)\,\!}$, onde ${\displaystyle \scriptstyle \Gamma }$ é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$

Función gamma no eixe real.

Valor absoluto da función gamma no plano complexo.

converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica

A función gamma no plano complexo.

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!}$

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)}$

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación ${\displaystyle n!=n(n-1)!}$ do factorial. Pódese avaliar ${\displaystyle \Gamma (1)}$ analiticamente:

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.}$

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}$

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ con polos simples en ${\displaystyle z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )}$ e residuos ${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$.^[1] Estas propiedades poden ser empregadas para estender ${\displaystyle \Gamma (z)}$ dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$

onde ${\displaystyle \gamma }$ é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa ${\displaystyle z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}$

Tamén se pode a seguinte representación integral:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}$

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes

Atopar ${\displaystyle \Gamma (1)}$ é sinxelo:

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1}$

Obtense logo unha fórmula para ${\displaystyle \Gamma (n+1)}$ como unha función de ${\displaystyle \Gamma (n)}$:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}$

Empregando integración por partes para resolver a integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}$

No límite inferior obtense directamente ${\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0}$.

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 1}{e^{x}}}=0}$.

Polo que se anula o primeiro termo, ${\displaystyle \left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}$, o que nos dá o seguinte resultado:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}$

A parte dereita da ecuación é exactamente ${\displaystyle n\Gamma (n)}$, co que se obtén unha relación de recorrencia:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}$.

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

${\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,}$

${\displaystyle \Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,}$

${\displaystyle \Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,}$

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!}$

Propiedades

Da representación integral obtense:

${\displaystyle \lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty }$.

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler

${\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}$

e a fórmula de duplicación

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}$

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!}$

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!}$

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!}$

que se pode obter facendo ${\displaystyle z=1/2}$ na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con ${\displaystyle x=e=1/2}$ ou facendo a substitución ${\displaystyle u={\sqrt {t}}}$ na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}$    (n impar)

onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!}$

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:

${\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.}$

A función gamma ten un polo de orde 1 en ${\displaystyle z=-n}$ para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:

${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!}$

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de ${\displaystyle \Gamma (z)}$ para valores 0 < z < 1 é:

${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots }$

Onde ${\displaystyle \zeta (n)}$ é a función zeta de Riemann.

Función pi

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!}$

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

${\displaystyle \Pi (n)=n!.\!}$

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

${\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}$

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!}$

Ás veces atópase a seguinte definición

${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!}$

onde ${\displaystyle \pi (z)}$ é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións

• Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior ${\displaystyle \gamma (a,x)}$ e inferior ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

${\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}$

${\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}$

• A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!}$

• A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma ${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$. As derivadas de maior orde son as funcións poligamma ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)}$.

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{0}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n+1}\log \Gamma (z)}$

• O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
• A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
• A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (z)}$:

${\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.}$

Fórmula válida só se ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}$. Tamén aparece na ecuación funcional de ${\displaystyle \zeta (z)}$:

${\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$

Valores da función gamma

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}$

Aproximacións

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma

Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de ${\displaystyle ax^{b}}$ (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}}$

como ${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}$ entón ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}}$ onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de ${\displaystyle x}$, de ${\displaystyle x^{2}}$ e inclusive dunha constante ${\displaystyle c=cx^{0}}$:

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}}$