Forma pechada

En matemáticas, dise que unha expresión é unha expresión en forma pechada (ou forma fechada, en inglés closed-form) se e só se pode expresar analiticamente en termos dun número limitado de funcións coñecidas. Normalmente, estas funcións coñecidas defínense como funcións elementais: constantes, unha variábel x, operacións elementais de aritmética (+ – × ÷ –), raíces n-ésimas, exponenciais e logaritmos (que tamén inclúen funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas).

Máis extensamente podemos tamén referirnos a expresión en forma pechada. Tamén pode denominarse fórmula explícita.

A condición importante é que sexa calculábel directamente a través da fórmula dada, non serían válidas por exemplo recorrencias, series, resultados asintóticos ou solucións mediante algoritmos.

Exemplos e contraexemplos

Para o termo n da secuencia de Fibonacci temos as solucións:

• Forma non pechada: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$.
• Forma pechada: ${\displaystyle F_{n}={\dfrac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {5}}}}$, onde ${\displaystyle \alpha ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\ \beta ={\dfrac {1-{\sqrt {(}}5)}{2}};}$.

Valor da función zeta de Riemann:

• Forma non pechada: ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{s}}}}$. Non está descuberta unha fórmula explícita para valores impares do argumento ${\displaystyle s}$.
• Forma pechada para o argumento ${\displaystyle s=2}$: ${\displaystyle \zeta (2)={\dfrac {\pi ^{2}}{6}}}$.