Función aditiva

En teoría de números, unha función aditiva é unha función aritmética f(n) da variábel enteira positiva n tal que sempre que a e b son coprimos, a función aplicada ao produto ab é a suma dos valores da función aplicada a a e b:^[1]

${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$

Completamente aditiva

Unha función aditiva f(n) dise que é completamente aditiva sen se verifica ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$ para todos os enteiros positivos a e b, aínda que non sexan coprimos. Completamente aditiva tamén se usa neste sentido por analoxía coas funcións completamente multiplicativas. Se f é unha función completamente aditiva, entón f(1) = 0.

Toda función completamente aditiva é aditiva, mais non viceversa.

Exemplos

Exemplos de funcións aritméticas que son completamente aditivas:

• A restrición da función logarítmica a ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• A multiplicidade dun factor primo p en n, que é o maior expoñente m para o que p^m divide n.
• a₀(n), a suma de números primos que divide n contando a súa multiplicidade, ás veces chamada sopfr(n)^[2], a potencia de n ou o logaritmo enteiro de n (secuencia A001414 na OEIS). Por exemplo:

a₀ (4) = 2 + 2 = 4.

a₀ (20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.

a₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9.

a₀ (144) = a₀ (2⁴ · 3 ² ) = a₀ (2⁴) + a₀ (3²) = 8 + 6 = 14.

a₀ (2000) = a₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a₀ (2 ⁴ ) + a₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23.

a₀ (2003) = 2003.

• A función Ω(n), definida como o número total de factores primos de n, contando múltiples factores múltiples veces, ás veces chamada "función Omega maiúsculo" (secuencia A001222 na OEIS). Por exemplo;

Ω(1) = 0, xa que 1 non ten factores primos.

Ω(4) = 2.

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4.

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3.

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3.

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6.

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2⁴ ) + Ω(5³ ) = 4 + 3 = 7.

Ω(2001) = Ω(3·23·29)=3.

Ω(2002) = Ω(2·7·11·13)=3.

Ω(2003) = 1.

Exemplos de funcións aritméticas que son aditivas mais non completamente aditivas son:

• ω(n), definido como o número total de distintos factores primos de n (secuencia A001221 na OEIS). Por exemplo:

ω(4) = 1.

ω(16) = ω(2⁴ ) = 1.

ω(20) = ω(2² · 5) = 2.

ω(27) = ω(3³ ) = 1.

ω(144) = ω(2⁴ · 3² ) = ω(2⁴ ) + ω(3² ) = 1 + 1 = 2.

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴ ) + ω(5³ ) = 1 + 1 = 2.

ω(2001) = 3.

ω(2002) = 4.

ω(2003) = 1.

• a₁(n), a suma dos distintos números primos que dividen a n, ás veces chamado sopf(n) (secuencia A008472 na OEIS). Por exemplo:

a₁(1) = 0.

a₁(4) = 2.

a₁(20) = 2 + 5 = 7.

a₁(27) = 3.

a₁ (144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5.

a₁ (2000) = a₁(2⁴ · 5³ ) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7.

a₁(2001) = 55.

a₁(2002) = 33.

a₁(2003) = 2003.

Funcións multiplicativas

A partir de calquera función aditiva${\displaystyle f(n)}$ é posíbel crear unha función multiplicativa relacionada ${\displaystyle g(n),}$ que é unha función coa propiedade que sempre que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son coprimos daquela:

${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$

Un destes exemplos é ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$ Así mesmo se ${\displaystyle f(n)}$ é completamente aditiva, daquela ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$ é completamente multiplicativa. De forma máis xeral, poderiamos considerar a función ${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$, onde ${\displaystyle c}$ é unha constante real distinta de cero.